Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas estacionárias, então determine: A equação de Hagen-Poiseuille;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas estacionárias. Determine a equação de Hagen–Poiseuille.”
Aqui o conteúdo é Mecânica dos Fluidos, mais precisamente o escoamento de um fluido viscoso e incompres­sível em canal de placas paralelas. Para resolver vamos usar:
  1. A forma simplificada da equação de Navier–Stokes (porque é fluxo unidirecional e totalmente desenvolvido).
  2. Integração dessa equação para achar o perfil de velocidade .
  3. Aplicar as condições de contorno (velocidade zero nas placas).
  4. Calcular a vazão e montar a equação de Hagen–Poiseuille.

Passo 2

Primeiro a gente escreve a equação de Navier–Stokes na direção 0 ;=; -dpdx ;+;mu,d^2udy^2 . Em regime permanente, fluxo só em , sem variação de em ou , e sem forças de massa volumétrica:
Aqui é a variação de pressão ao longo do canal (negativa se a pressão decresce no sentido do fluxo) e é a viscosidade.

Passo 3

Agora integramos duas vezes em mu,dudy = dpdx,y + C1 :
1ª integração:
mu,u(y) = dpdx,y^22 + C1,y + C2
2ª integração:
0 = dpdx,H^22 + C1,H Longrightarrow C1 = -dpdx,H2
As condições de contorno são u(y);=;12mu,dpdx,l(y^2 - H,yr) (placa inferior) e (placa superior, separação ).
  • Em : .
  • Em :
Substituindo e , ficamos com o perfil de velocidade

Passo 4

Pra fechar, vamos à vazão por largura de placa Q = bintegral0^H u(y),dy = bintegral0^H12mudpdx,(y^2 - Hy),dy :
Q = b2mudpdx,gl[y^33-H,y^22gr]0^H = b2mudpdx,l(H^33-H^32r) = -b,H^312,mu,dpdx,
Fazendo a integral:
onde o sinal “−” aparece porque é negativo quando o fluido flui no sentido .

Resposta

A equação de Hagen–Poiseuille para escoamento laminar entre placas paralelas (separação boxed Q ;=; -,b,H^312,mu,dpdx , largura ) é
onde é a vazão volumétrica e a variação de pressão ao longo do canal.

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