Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas estacionárias, então determine: A equação de Hagen-Poiseuille;
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas estacionárias. Determine a equação de Hagen–Poiseuille.”
Aqui o conteúdo é Mecânica dos Fluidos, mais precisamente o escoamento de um fluido viscoso e incompressível em canal de placas paralelas. Para resolver vamos usar:
Aqui o conteúdo é Mecânica dos Fluidos, mais precisamente o escoamento de um fluido viscoso e incompressível em canal de placas paralelas. Para resolver vamos usar:
- A forma simplificada da equação de Navier–Stokes (porque é fluxo unidirecional e totalmente desenvolvido).
- Integração dessa equação para achar o perfil de velocidade
. - Aplicar as condições de contorno (velocidade zero nas placas).
- Calcular a vazão
e montar a equação de Hagen–Poiseuille.
Passo 2
Primeiro a gente escreve a equação de Navier–Stokes na direção
. Em regime permanente, fluxo só em
, sem variação de
em
ou
, e sem forças de massa volumétrica:
Aqui
é a variação de pressão ao longo do canal (negativa se a pressão decresce no sentido do fluxo) e
é a viscosidade.
Passo 3
Agora integramos duas vezes em
:
1ª integração:
1ª integração:
2ª integração:
As condições de contorno são
(placa inferior) e
(placa superior, separação
).
- Em
: . - Em
:
Substituindo
e
, ficamos com o perfil de velocidade
Passo 4
Pra fechar, vamos à vazão por largura de placa
:
Fazendo a integral:
onde o sinal “−” aparece porque
é negativo quando o fluido flui no sentido
.
Resposta
A equação de Hagen–Poiseuille para escoamento laminar entre placas paralelas (separação
, largura
) é
onde
é a vazão volumétrica e
a variação de pressão ao longo do canal.