Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas estacionárias, então determine: A velocidade média;

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas estacionárias. Determine a velocidade média.”
Isso é um clássico de Mecânica dos Fluidos: o escoamento de Poiseuille plano. Vamos precisar:
  • Do perfil de velocidade que vem da equação de Navier–Stokes em regime totalmente desenvolvido (λu/λx=0)
  • Resolver essa ODE com as condições de não deslizamento (no-slip) nas duas placas
  • Integrar o perfil pra achar a média

Passo 2

Primeiro, escreve a equação que sobra em regime totalmente desenvolvido e incompressível entre placas:
mu d^2udy^2 = dpdx,
onde u(pm H) = 0 é a viscosidade, a pressão e a direção do escoamento.
As placas estão em e , paradas, então:

Passo 3

Integramos duas vezes a ODE:
  1. Primeiro C2 = -12mudpdx,H^2
  2. Segundo u(y) = 12mudpdx,(y^2 - H^2)
    Usando , achamos e
Logo o perfil é

Passo 4

Agora a velocidade média bar u = 12Hintegral-H^H u(y),dy = 12Hintegral-H^H 12mudpdx(y^2 - H^2),dy é a integral do perfil dividido pela distância entre as placas (2H):
bar u = 12H,12mudpdx l(2H^33 - 2H^3r) = -H^23mu,dpdx
Fazendo a conta (o termo em e o termo constante dá ), fica

Resposta

A velocidade média do escoamento é
boxedbar u = -H^23mu,dpdx

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