Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo, então determine: A vazão em volume como uma função da queda de pressão;
Passo 1
Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente pensar num escoamento laminar completamente desenvolvido dentro de um tubo cilíndrico e achar a vazão volumétrica
em função da queda de pressão
que rola ao longo do tubo.
Conteúdo: mecânica dos fluidos – escoamento laminar em tubos (lei de Hagen–Poiseuille).
O que vamos precisar:
Conteúdo: mecânica dos fluidos – escoamento laminar em tubos (lei de Hagen–Poiseuille).
O que vamos precisar:
- Equacionar a conservação de momento (tipo a forma simplificada da equação de Navier–Stokes em regime totalmente desenvolvido).
- Impor condições de contorno (velocidade zero na parede, simetria no eixo).
- Integrar o perfil de velocidade para obter
.
Passo 2
Primeiro, na direção axial
o escoamento está permanente, unidimensional e só varia em função da coordenada radial
. A equação de momento vira
sendo
a tensão de cisalhamento e
a variação de pressão ao longo do tubo (negativa se a pressão decresce no sentido do escoamento).
Como é fluido newtoniano, , logo:
Como é fluido newtoniano,
Aqui
é a viscosidade do fluido.
Passo 3
Integramos essa equação duas vezes em
. Primeiro, note que
é constante (escoamento completamente desenvolvido), então:
Dividindo por
e integrando de novo:
Agora aplicamos as condições de contorno:
- No eixo (
) a velocidade deve ser finita → isso faz , pois diverge. - Na parede (
) o fluido gruda na parede → .
Isso leva a
Passo 4
Para achar a vazão volumétrica
, a gente integra
sobre a seção transversal:
Fazendo a integral em
:
Substituindo os limites:
ficando
Como
(queda de pressão positiva
ao longo do comprimento
), temos: