Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo, então determine: A vazão em volume como uma função da queda de pressão;

Passo 1

Beleza, o enunciado tá pedindo pra gente pensar num escoamento laminar completamente desenvolvido dentro de um tubo cilíndrico e achar a vazão volumétrica em função da queda de pressão que rola ao longo do tubo.
Conteúdo: mecânica dos fluidos – escoamento laminar em tubos (lei de Hagen–Poiseuille).
O que vamos precisar:
  1. Equacionar a conservação de momento (tipo a forma simplificada da equação de Navier–Stokes em regime totalmente desenvolvido).
  2. Impor condições de contorno (velocidade zero na parede, simetria no eixo).
  3. Integrar o perfil de velocidade para obter .

Passo 2

Primeiro, na direção axial 1rddr!l(r,taurxr);=;dpdx, o escoamento está permanente, unidimensional e só varia em função da coordenada radial 1rddr!l(r,mu,dudrr) ;=;dpdx . A equação de momento vira
sendo a tensão de cisalhamento e a variação de pressão ao longo do tubo (negativa se a pressão decresce no sentido do escoamento).
Como é fluido newtoniano, , logo:
Aqui é a viscosidade do fluido.

Passo 3

Integramos essa equação duas vezes em mu,ddr!l(r,dudrr) = r,dpdx ;;Longrightarrow;; r,dudr = r^22mu,dpdx + C1 . Primeiro, note que dudr = r2mu,dpdx + C1r ;;Longrightarrow;; u(r) = r^24mu,dpdx + C1ln r + C2 é constante (escoamento completamente desenvolvido), então:
u(r) = 14mu,dpdx,l(r^2 - R^2r)
Dividindo por e integrando de novo:
Agora aplicamos as condições de contorno:
  1. No eixo ( ) a velocidade deve ser finita → isso faz , pois diverge.
  2. Na parede ( ) o fluido gruda na parede → .
    Isso leva a

Passo 4

Para achar a vazão volumétrica Q = integral0^2pi!integral0^R u(r),r,dr,dtheta = 2piintegral0^R! 14mu,dpdx,(r^2 - R^2),r,dr , a gente integra Q = pi2mu,dpdx integral0^R!(r^3 - R^2r),dr = pi2mu,dpdx,l[tfracr^44 - tfracR^2r^22r]0^R sobre a seção transversal:
l[tfracR^44-tfracR^42r] = -tfracR^44,
Fazendo a integral em Q = pi2mu,dpdx,l(-tfracR^44r) = -,pi R^48mu,dpdx :
Substituindo os limites:
ficando
Como (queda de pressão positiva ao longo do comprimento ), temos:

Resposta

boxedQ = pi,R^48,mu,L,De

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