Um trocador de calor de um passe através dos tubos e um passe pelo casco, com escoamento paralelo, resfria
de amônia gasosa que entra pelo lado do casco a
e ferve
de água nos tubos. A água entra sub-resfriada a
e ferve quando atinge
. Considere
antes da ebulição começar e
após o início da mudança de fase, a área do trocador de calor é
e o calor latente de vaporização da água é
. Determine o título da mistura bifásica água-vapor na saída.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um trocador de calor de um passe (tubos) e um passe (casco), escoamento paralelo. A-amônia (5 kg/s) entra no casco a 250 °C e vai esfriando; a água (4,8 kg/s) entra nos tubos a 27 °C, aquece até 100 °C, e depois ferve (passa a misturar líquido + vapor). As U mudam: 480 W/m²K na parte em que a água só aquece, e 964 W/m²K na parte em que a água ferve. A área total é A = 45 m². Queremos achar o título (x) da mistura água-vapor na saída dos tubos.
Conteúdo: equilíbrio de energia, LMTD (diferença média logarítmica de temperatura) em escoamento paralelo, e divisão de área em duas seções. Vamos precisar de:
• Cp da água líquida (≈ 4180 J/kg·K)
• Calor latente h_fg da água (2,257×10⁶ J/kg)
• Um valor aproximado de Cp da amônia gasosa (vamos usar Cp_NH₃ = 2800 J/kg·K)
• Fórmulas de LMTD paralelo: ΔT_lm = (ΔT_in–ΔT_out)/ln(ΔT_in/ΔT_out)
• Balanço de energia em cada seção.
Conteúdo: equilíbrio de energia, LMTD (diferença média logarítmica de temperatura) em escoamento paralelo, e divisão de área em duas seções. Vamos precisar de:
• Cp da água líquida (≈ 4180 J/kg·K)
• Calor latente h_fg da água (2,257×10⁶ J/kg)
• Um valor aproximado de Cp da amônia gasosa (vamos usar Cp_NH₃ = 2800 J/kg·K)
• Fórmulas de LMTD paralelo: ΔT_lm = (ΔT_in–ΔT_out)/ln(ΔT_in/ΔT_out)
• Balanço de energia em cada seção.
Passo 2
- Calor necessário para levar a água de 27 °C a 100 °C (somente aquecimento sensível):
Q₁ = ṁ_w·Cp_w·(100–27)
= 4,8 kg/s · 4180 J/kg·K · 73 K
≈ 1,465×10⁶ W
Esse Q₁ sai da amônia, então na seção 1:
Q₁ = ṁ_NH₃·Cp_NH₃·(250 – T_{h2})
⇒ 1,465×10⁶ = 5 kg/s · 2800 J/kg·K · (250 – T_{h2})
⇒ 250 – T_{h2} = 1,465×10⁶ / (5·2800) ≈ 104,64 K
⇒ T_{h2} ≈ 145,36 °C
Q₁ = ṁ_NH₃·Cp_NH₃·(250 – T_{h2})
⇒ 1,465×10⁶ = 5 kg/s · 2800 J/kg·K · (250 – T_{h2})
⇒ 250 – T_{h2} = 1,465×10⁶ / (5·2800) ≈ 104,64 K
⇒ T_{h2} ≈ 145,36 °C
Passo 3
- Determinar a área A₁ usada nesse aquecimento sensível, via LMTD paralelo:
ΔT_{1,in} = T_{h1} – T_{c1} = 250 – 27 = 223 K
ΔT_{1,out}= T_{h2} – T_{c2} = 145,36 – 100 = 45,36 K
ΔT_{1,lm} = (223 – 45,36) / ln(223 / 45,36) ≈ 111,6 K
A₁ = Q₁ / (U₁·ΔT_{1,lm}) = 1,465×10⁶ / (480·111,6) ≈ 27,36 m²
Logo, a parte que ferve (seção 2) fica com A₂ = 45 – 27,36 = 17,64 m².
Passo 4
- Calor usado na vaporização parcial na seção 2:
Q₂ = ṁ_w · h_fg · x = 4,8·2,257×10⁶ · x = 1,08336×10⁷ · x (W)
Por outro lado, via LMTD paralelo na seção 2:
T quente entra na sec.2 a T_{h2}=145,36 °C e sai a T_{h3} (desconhecido).
T fria (água) fica constant e =100 °C (fase mudança).
ΔT_{2,in} = 145,36 – 100 = 45,36 K
ΔT_{2,out}= T_{h3} – 100
T quente entra na sec.2 a T_{h2}=145,36 °C e sai a T_{h3} (desconhecido).
T fria (água) fica constant e =100 °C (fase mudança).
ΔT_{2,in} = 145,36 – 100 = 45,36 K
ΔT_{2,out}= T_{h3} – 100
Mas T_{h3} é tal que o calor total Q₁+Q₂ = energia cedida pela amônia
Q₁+Q₂ = 5·2800·(250 – T_{h3}) ⇒ T_{h3} = 250 – (Q₁+Q₂)/(5·2800)
→ T_{h3} = 250 – [1,465e6 + 1,08336e7·x]/14000
→ T_{h3} = 145,36 – 774,54·x
Q₁+Q₂ = 5·2800·(250 – T_{h3}) ⇒ T_{h3} = 250 – (Q₁+Q₂)/(5·2800)
→ T_{h3} = 250 – [1,465e6 + 1,08336e7·x]/14000
→ T_{h3} = 145,36 – 774,54·x
Então:
ΔT_{2,out} = 145,36 – 774,54·x – 100 = 45,36 – 774,54·x
ΔT_{2,out} = 145,36 – 774,54·x – 100 = 45,36 – 774,54·x
ΔT_{2,lm} = (ΔT_{2,in} – ΔT_{2,out}) / ln(ΔT_{2,in}/ΔT_{2,out})
= [45,36 – (45,36 – 774,54x)] / ln[45,36/(45,36 – 774,54x)]
= 774,54x / ln[45,36/(45,36 – 774,54x)]
= [45,36 – (45,36 – 774,54x)] / ln[45,36/(45,36 – 774,54x)]
= 774,54x / ln[45,36/(45,36 – 774,54x)]
E Q₂ também = U₂·A₂·ΔT_{2,lm} = 964 · 17,64 · [774,54x / ln(45,36/(45,36 – 774,54x))]
Igualando as duas expressões de Q₂:
1,08336×10⁷ x = 964·17,64·774,54x / ln[45,36/(45,36 – 774,54x)]
1,08336×10⁷ x = 964·17,64·774,54x / ln[45,36/(45,36 – 774,54x)]
Cancelando o x (≠0) e rearranjando dá:
ln[45,36/(45,36 – 774,54x)] = (964·17,64·774,54) / 1,08336×10⁷ ≈ 1,2169
ln[45,36/(45,36 – 774,54x)] = (964·17,64·774,54) / 1,08336×10⁷ ≈ 1,2169
Daí
45,36/(45,36 – 774,54x) = e^{1,2169} ≈ 3,377
45,36/(45,36 – 774,54x) = e^{1,2169} ≈ 3,377
→ 45,36 = 3,377·(45,36 – 774,54x)
→ 45,36 = 153,476 – 2617,86x
→ 2617,86x = 108,116
→ x ≈ 0,0413
→ 45,36 = 153,476 – 2617,86x
→ 2617,86x = 108,116
→ x ≈ 0,0413
Resposta
O título da mistura água-vapor na saída é aproximadamente x = 0,041 (≈ 4,1 %).