Considere um escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo, então determine: A distribuição de tensão de cisalhamento;
Passo 1
Beleza, a questão pede a distribuição de tensão de cisalhamento num escoamento laminar totalmente desenvolvido em um tubo cilíndrico. Isso é um tópico de mecânica dos fluidos: quando o escoamento já tá estável (não muda no sentido axial), a gente usa o equilíbrio de forças num elemento de fluido pra achar como a tensão varia de centro até a parede. Pra resolver precisamos saber:
- Equilíbrio de forças em coordenadas cilíndricas.
- Condição de contorno de que a tensão no centro do tubo é zero.
- Relação entre gradiente de pressão e tensão de cisalhamento.
Passo 2
Vamos analisar um “anel” infinitesimal de fluido, de raio r e espessura dr, comprido dx. A pressão empurra esse anel de um lado (área 2πr dx) e do outro. A diferença dessas forças de pressão deve ser equilibrada pela tensão de cisalhamento na parede interna desse anel (área 2π r dr).
Passo 3
Escrevendo o equilíbrio de forças no eixo z (direção do escoamento):
Força de pressão de trás menos a da frente = força de cisalhamento
–(dp/dz)·(π r²)·1 = τ®·(2π r dx)
Por que o sinal “–”? Porque dp/dz é negativo (a pressão decresce no sentido do escoamento).
Força de pressão de trás menos a da frente = força de cisalhamento
–(dp/dz)·(π r²)·1 = τ®·(2π r dx)
Por que o sinal “–”? Porque dp/dz é negativo (a pressão decresce no sentido do escoamento).
Passo 4
Reorganizando:
τ®·2π r dx = –(dp/dz)·π r² dx
Dividindo por π dx:
2 r τ® = –(dp/dz) r²
τ® = –(dp/dz)·r/2
τ®·2π r dx = –(dp/dz)·π r² dx
Dividindo por π dx:
2 r τ® = –(dp/dz) r²
τ® = –(dp/dz)·r/2
Passo 5
Agora, como condição de contorno, a tensão no centro do tubo (r=0) tem que ser zero. Isso tá satisfeito por τ®=–(dp/dz)·r/2, pois em r=0 dá zero. Não há outra constante de integração.
Resposta
A distribuição de tensão de cisalhamento no tubo é:
Se você preferir em termos de queda de pressão total Δp ao longo do comprimento L (com Δp = p_in – p_out > 0):