Considere o escoamento laminar, incompressível, unidimensional e estacionário de um fluido newtoniano entre duas placas planas paralelas horizontais, separadas por uma distância h=4 mm. Ambas as placas estão fixas. Há um gradiente de pressão constante dp / dx=-500 Pa / m que impulsiona o escoamento no sentido do eixo x. O fluido possui viscosidade dinâmica mu=0,001 Pas e densidade rho=1000 kg / m 3.
a. Determine a distribuição de velocidade u(y) ) entre as placas.
b. Encontre a velocidade máxima no centro do canal.
c. Calcule a vazão por unidade de largura do canal.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos escoamento laminar, incompressível, unidimensional e estacionário de um fluido newtoniano entre duas placas planas fixas, separadas por h=4,mm=4times10^-3,m. Um gradiente de pressão constante dp/dx=-500,Pa/m impulsiona o escoamento, e o fluido tem viscosidade dinâmica mu=0,001,Pacdots. Vamos determinar:
a. a distribuição de velocidades u(y);
b. a velocidade máxima no centro;
c. a vazão por unidade de largura.

Passo 2

A equação de momento em x reduz-se, para escoamento unidimensional e estacionário, a
0 = -dpdx + mu,d^2udy^2,
Reescrevendo,
mu,d^2udy^2 = dpdx,
Integrando duas vezes em y, obtemos a forma geral
u(y) = 12mu,dpdx,y^2 + C1,y + C2,

Passo 3

Impondo as condições de contorno u(0)=0 e u(h)=0, encontra-se
C2 = 0 , C1 = -12mu,dpdx,h,
Logo a distribuição de velocidade fica
u(y) = 12mu,dpdx,l(y^2 - hyr) = -12mu,dpdx;y,(h - y),
Substituindo numericamente dp/dx=-500,Pa/m, mu=0,001,Pacdots e h=4times10^-3,m,
u(y) = 5002cdot0,001;y,(0,004 - y) = 250000;y,(0,004 - y) l[m/sr]

Passo 4

A velocidade máxima ocorre em y=h/2. Usando
umax = -12mu,dpdx,h2l(h-h2r) = -18mu,dpdx,h^2
e os valores numéricos,
umax = 500,(0,004)^28cdot0,001 =1,0;m/s

Passo 5

A vazão por unidade de largura Q é
Q = integral0^h u(y),dy = -12mu,dpdx integral0^h y,(h-y),dy = -12mu,dpdx,h^36 = -112mu,dpdx,h^3
Substituindo,
Q = 500,(0,004)^312cdot0,001 approx2,67times10^-3;m^2/s

Resposta

a. u(y) = -12mu,dpdx;y,(h-y) =250000,y,(0,004-y);l[m/sr]
b. umax=1,0;m/s
c. Q=2,67times10^-3;m^2/s

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