Considere um fluido incompressível e newtoniano escoando entre duas placas planas horizontais, separadas por uma distância h. O escoamento é bidimensional (em x e y), estacionário, e sem forças de volume. A componente da velocidade no eixo x é conhecida e dada por:
onde
e L são constantes.
Usando a equação da continuidade, determine a expressão para
, assumindo que
.
Usando a equação de Navier-Stokes no eixo x , determine a expressão para o gradiente de pressão
, assumindo viscosidade constante
.
Usando a equação da continuidade, determine a expressão para
Usando a equação de Navier-Stokes no eixo x , determine a expressão para o gradiente de pressão
Passo 1
O enunciado trata de um escoamento bidimensional e estacionário de um fluido incompressível e newtoniano entre placas planas a
e
. A componente de velocidade no eixo
é
e pede-se:
. usar a equação da continuidade
para encontrar
com
;
. usar a equação de Navier–Stokes em
,
para determinar
.
Passo 2
Pela continuidade,
Como
temos
Passo 3
Integramos em
aplicando
:
logo
Passo 4
Escrevemos a equação de Navier–Stokes em
e isolamos
:
Passo 5
Calculamos as derivadas:
O termo convectivo é
e o termo viscoso é
Substituindo em
obtemos
Resposta
v(x,y) = U_{0} \frac{\pi}{L} \left(\frac{y^{3}}{3 h^{2}} - y\right) \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)