Considere um fluido incompressível e newtoniano escoando entre duas placas planas horizontais, separadas por uma distância h. O escoamento é bidimensional (em x e y), estacionário, e sem forças de volume. A componente da velocidade no eixo x é conhecida e dada por:
u(x, y)-U0(1-y^2h^2) sin (pi xL)
onde U0, h e L são constantes.
Usando a equação da continuidade, determine a expressão para v(x, y), assumindo que v(x, 0)=0.
Usando a equação de Navier-Stokes no eixo x , determine a expressão para o gradiente de pressão partial p / partial x, assumindo viscosidade constante mu.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento bidimensional e estacionário de um fluido incompressível e newtoniano entre placas planas a y=0 e y=h. A componente de velocidade no eixo x é
u(x,y)=U0l(1-y^2h^2r)sin!l(tfracpi xLr),
e pede-se:
1. usar a equação da continuidade
partial upartial x+partial vpartial y=0
para encontrar v(x,y) com v(x,0)=0;
2. usar a equação de Navier–Stokes em x,
rhol(upartial upartial x+vpartial upartial yr) =-partial ppartial x +mul(partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2r),
para determinar partial p/partial x.

Passo 2

Pela continuidade,
partial vpartial y =-partial upartial x
Como
partial upartial x =U0l(1-y^2h^2r)piLcos!l(tfracpi xLr),
temos
partial vpartial y =-,U0,piLl(1-y^2h^2r)cos!l(tfracpi xLr)

Passo 3

Integramos em y aplicando v(x,0)=0:
v(x,y) =-,U0,piLcos!l(tfracpi xLr) integral0^yl(1-y'^2h^2r),dy'
integral0^yl(1-y'^2h^2r),dy' =y-y^33,h^2,
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v(x,y) =-,U0,piLcos!l(tfracpi xLr) l(y-y^33,h^2r) =U0,piLl(tfracy^33h^2-yr)cos!l(tfracpi xLr)

Passo 4

Escrevemos a equação de Navier–Stokes em x e isolamos partial p/partial x:
rhol(upartial upartial x+vpartial upartial yr) =-partial ppartial x +mul(partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2r) Longrightarrow partial ppartial x =-,rhol(u,ux+v,uyr) +mul(uxx+uyyr)

Passo 5

Calculamos as derivadas:
ux = U0l(1-y^2h^2r)piLcos!l(tfracpi xLr), uy = -,U0,2yh^2sin!l(tfracpi xLr),
uxx = -,U0l(1-y^2h^2r)pi^2L^2sin!l(tfracpi xLr), uyy = -,U0,2h^2sin!l(tfracpi xLr)
O termo convectivo é
u,ux+v,uy =U0^2piLsin!l(tfracpi xLr)cos!l(tfracpi xLr) l(1+y^43h^4r),
e o termo viscoso é
uxx+uyy =-,U0sin!l(tfracpi xLr) l(pi^2L^2l(1-y^2h^2r)+2h^2r)
Substituindo em partial p/partial x obtemos
partial ppartial x =-,rho,U0^2,piLsin!l(tfracpi xLr)cos!l(tfracpi xLr) l(1+y^43h^4r) -mu,U0,sin!l(tfracpi xLr) l(pi^2L^2l(1-y^2h^2r)+2h^2r)

Resposta

v(x,y) = U_{0} \frac{\pi}{L} \left(\frac{y^{3}}{3 h^{2}} - y\right) \cos\left(\frac{\pi x}{L}\right)
partial ppartial x = -rho U0^2 piL sin(pi xL) cos(pi xL) (1 + y^43 h^4) - mu U0 sin(pi xL) (pi^2L^2 (1 - y^2h^2) + 2h^2)

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