Um teste de bombeamento foi feito em um aquífero constituído de uma camada de areia e cascalho de 15 m sobrejacente a um leito de argila. O nível estático do lençol freático estava a 2 m da superfície. Abriu-se mais dois poços de observação localizados a 3 m e a 7,5 \mathrm{~m} do poço de bombeamento. Bombeando-se uma vazão de 3,5 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, um regime permanente foi atingido em aproximadamente 24 h . O rebaixamento do lençol no poço a 3 m foi de 1,60 \mathrm{~m} e a 7,5 \mathrm{~m}, de 0,32 \mathrm{~m}. Calcular o coeficiente de permeabilidade do solo e o rebaixamento no poço de bombeamento, com 20 cm de diâmetro (despreze o efeito da perda de carga no poço de bombeamento).
Se o efeito da perda de carga no poço de bombeamento for considerado, o que se pode esperar do valor de K e do rebaixamento no poço de bombeamento.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que está indicado.
Dados do problema:
\begin{aligned} &\text{Espessura da camada permeável (areia/cascalho)} = 15\\ \text{m},\\\ &\text{nível estático do lençol} = 2\\ \text{m abaixo da superfície},\\\ &\text{poços de observação a } r_1 = 3{,}0\\ \text{m} \text{ e } r_2 = 7{,}5\\ \text{m},\\\ &\text{vazão de bombeamento } Q = 3{,}5\\ \text{L/s} = 0{,}0035\\ \text{m}^3/\text{s},\\\ &\text{rebaixamento medido em } r_1:\\ s_1 = 1{,}60\\ \text{m},\\\ &\text{rebaixamento medido em } r_2:\\ s_2 = 0{,}32\\ \text{m},\\\ &\text{diâmetro do poço de bombeamento } = 0{,}20\\ \text{m} \Rightarrow r_w = 0{,}10\\ \text{m},\\\ &\text{regime permanente atingido em } \approx 24\\ \text{h (portanto assumimos estado estacionário).} \end{aligned}áíáçíççããâçá
O que se pede:
  1. Calcular o coeficiente de permeabilidade do solo K (em \text{m/s}), desprezando perda de carga no poço.
  2. Calcular o rebaixamento no poço de bombeamento (isto é, s_w) desprezando perda de carga no poço.
  3. Comentar qualitativamente o que se espera para K e para o rebaixamento no poço se o efeito da perda de carga no poço for considerado.
Observação importante de leitura dos dados: a espessura total do aquífero é b=15\\ \text{m} e o nível estático está a 2\\ \text{m} abaixo da superfície; portanto a carga hidráulica inicial medida a partir da base do aquífero (altura de água sobre o fundo do aquífero) é
H_0 = b - 2 = 15 - 2 = 13\\ \text{m}.

Passo 2

Escolha do método e derivação da fórmula que vamos usar (aulas rápidas, sem medo!).
Por termos chegado a regime permanente, em um aquífero não confinado (camada de areia/cascalho sobre argila) e com fluxo radial para o poço, a aproximação de Dupuit–Thiem para escoamento radial estacionário é adequada. Vou explicar a origem da fórmula de forma simples.
  • Em regime permanente, a vazão que atravessa um anel cilíndrico de raio r e espessura dr é constante e vale Q.
  • A velocidade média na seção do anel é dada por Darcy: v = -K \,\frac{dh}{dr} (sinal só indica direção; usamos módulo). A área do anel é 2\pi r\,h(r), onde h(r) é a altura da coluna d’água sobre o fundo do aquífero no raio r.
  • Assim, a vazão radial é
Q = 2\pi r\,K\,h(r)\,\frac{dh}{dr}.
  • Separando variáveis e integrando de um raio r até um raio de referência R onde h(R)=H_0 (raio de influência onde o efeito do poço é nulo), obtemos:
\frac{Q}{2\pi K}\int_{r}^{R}\frac{dr}{r} = \int_{h(r)}^{H_0} h\,dh.
  • Integrando dá
\frac{Q}{2\pi K}\ln\left(\frac{R}{r}\right) = \frac{1}{2}\left(H_0^2 - h^2(r)\right).
  • Reorganizando,
h^2(r) = H_0^2 - \frac{Q}{\pi K}\ln\!\left(\frac{R}{r}\right).
Essa é a expressão clássica para aquífero não confinado em regime permanente (Dupuit).
Explicação das variáveis:
  • h(r): altura da coluna de água sobre o fundo do aquífero no ponto a distância r do poço (em metros).
  • H_0: altura inicial (estática) da coluna de água sobre o fundo do aquífero (em metros). Aqui H_0=13\\ \text{m}.
  • Q: vazão de bombeamento (em \text{m}^3/\text{s}).
  • K: coeficiente de permeabilidade (m/s).
  • R: raio de influência (m) onde h(R)=H_0. Nem sempre precisamos conhecer R explicitamente.

Passo 3

Como eliminar R usando os dois poços observacionais (isso é lindo: a constante R some ao subtrair equações).
Escrevemos a relação para r_1 e r_2:
\begin{aligned} h_1^2 &= H_0^2 - \frac{Q}{\pi K}\ln\!\left(\frac{R}{r_1}\right),\\[4pt] h_2^2 &= H_0^2 - \frac{Q}{\pi K}\ln\!\left(\frac{R}{r_2}\right). \end{aligned}
Subtraindo a primeira da segunda (para eliminar H_0^2 e R):
h_2^2 - h_1^2 = \frac{Q}{\pi K}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Isolando K temos a fórmula prática que vamos usar:
\boxed{\,K \;=\; \dfrac{Q\,\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{\pi\left(h_2^2 - h_1^2\right)}\,}
Isso é ótimo porque usa apenas quantidades conhecidas ( Q,r_1,r_2,h_1,h_2).
Nota didática: aqui h_i = H_0 - s_i, porque o rebaixamento s_i é a diferença entre o nível estático e o nível durante bombeamento.]

Passo 4

Cálculo numérico de K (vou mostrar as contas passo a passo, tipo na prova).
  1. Calcular h_1 e h_2:
\begin{aligned} h_1 &= H_0 - s_1 = 13{,}0 - 1{,}60 = 11{,}40\\ \text{m},\\[4pt] h_2 &= H_0 - s_2 = 13{,}0 - 0{,}32 = 12{,}68\\ \text{m}. \end{aligned}
  1. Calcular os quadrados:
\begin{aligned} h_1^2 &= 11{,}40^2 = 129{,}96\\ \text{m}^2,\\[4pt] h_2^2 &= 12{,}68^2 = 160{,}7824\\ \text{m}^2. \end{aligned}
  1. Diferença:
h_2^2 - h_1^2 = 160{,}7824 - 129{,}96 = 30{,}8224\\ \text{m}^2.
  1. Logaritmo:
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right) = \ln\!\left(\frac{7{,}5}{3{,}0}\right) = \ln(2{,}5) = 0{,}9162907319\\ \text{(adimensional)}.
  1. Substituindo na fórmula de K:
K = \frac{0{,}0035\cdot 0{,}9162907319}{\pi\cdot 30{,}8224}.
  1. Avaliando numericamente (pré-calculado com cuidado):
K \approx 3{,}31\times 10^{-5}\\ \text{m/s}.
Comentário prático: esse é o valor do coeficiente de permeabilidade médio efetivo do conjunto areia/cascalho no domínio investigado, obtido com a hipótese de regime permanente e usando a aproximação de Dupuit.]

Passo 5

Cálculo do rebaixamento no poço de bombeamento s_w (desprezando perda de carga no poço).
Não precisamos conhecer R: usamos a relação entre dois raios qualquer e o raio do poço. Partindo da expressão para h^2(r) e subtraindo a equação para r_1, obtemos:
h_w^2 - h_1^2 = -\frac{Q}{\pi K}\Big[ \ln\!\Big(\frac{R}{r_w}\Big) - \ln\!\Big(\frac{R}{r_1}\Big)\Big] = \frac{Q}{\pi K}\ln\!\Big(\frac{r_w}{r_1}\Big).
Logo
\boxed{\,h_w^2 = h_1^2 + \frac{Q}{\pi K}\ln\!\Big(\frac{r_w}{r_1}\Big)\,}.
Agora calculamos numericamente:
  1. \ln(r_w/r_1) = \ln(0{,}1/3{,}0) = \ln(0{,}0333333) = -3{,}4011973817.
  2. \dfrac{Q}{\pi K} já pode ser obtido pelos números anteriores: usando K=3{,}3107\times 10^{-5}\\ \text{m/s},
\frac{Q}{\pi K} \approx 33{,}646\\ \text{m}^2.
(ou diretamente \dfrac{h_2^2-h_1^2}{\ln(r_2/r_1)}, que dá o mesmo valor).
  1. Multiplicando:
\frac{Q}{\pi K}\ln\!\Big(\frac{r_w}{r_1}\Big)\approx 33{,}646\cdot(-3{,}40119738)\approx -114{,}33\\ \text{m}^2.
  1. Portanto
h_w^2 = h_1^2 - 114{,}33 = 129{,}96 - 114{,}33 = 15{,}63\\ \text{m}^2.
  1. Assim
h_w = \sqrt{15{,}63}\approx 3{,}95\\ \text{m}.
  1. Rebaixamento no poço:
s_w = H_0 - h_w = 13{,}00 - 3{,}95 \approx 9{,}05\\ \text{m}.
Interpretação: desprezando perda de carga local do poço, o cálculo indica que o nível da água no interior do poço cairia cerca de 9{,}05\\ \text{m} abaixo do nível estático.

Passo 6

O que muda se considerarmos a perda de carga no poço? (explicação didática e intuitiva)
  • Perda de carga no poço (chamada também de perda local ou perda de entrada) corresponde a uma queda adicional de carga dentro do próprio poço, causada por aproximações aceleradas do fluxo, vazios entre revestimento e formações, turbilhonamento na entrada do tubo, etc. Essa perda aparece como componente da queda total observada no poço que não se deve ao escoamento no aquífero.
  • Consequência sobre K: se na análise inicial nós desprezamos perda de carga usamos somente observações em poços fora da cabeça do poço (ou usamos o rebaixamento do próprio poço sem descontar a perda local), então atribuiremos à propriedade do aquífero (i.e., a K) uma parte dessa queda que, na verdade, é perda no poço. Em termos práticos, isto significa que:
    • Se a perda de carga real existir e for ignorada, quem estimar K a partir de um rebaixamento medido no poço tenderá a obter um valor de K subestimado (porque o rebaixamento medido é maior do que o rebaixamento devido só ao aquífero, e maior rebaixamento para mesma Q implicaria em menor K).
    • No nosso caso particular obtivemos K usando apenas observações a 3\\ \text{m} e 7{,}5\\ \text{m}, portanto o valor calculado é pouco influenciado pela perda de carga no poço. Mas se alguém tivesse usado o rebaixamento do poço sem corrigir a perda local, o K estimado seria menor do que o real.
  • Consequência sobre o rebaixamento no poço:
    • O rebaixamento “de aquífero” no ponto do poço (i.e., o que a equação de Dupuit prevê) é menor que o rebaixamento total medido no poço quando existe perda de carga: o rebaixamento medido é a soma do rebaixamento do aquífero + perda local. Portanto, considerando a perda de carga, espera-se que o componente do rebaixamento atribuído ao aquífero seja menor que os 9{,}05\\ \text{m} que calculamos quando desprezamos as perdas; porém o rebaixamento efetivamente observado no poço (aquilo que o operador vê) será maior porque inclui essa perda local.
  • Em resumo (intuitivo): ao considerar a perda de carga no poço, o valor “verdadeiro” de K do aquífero tende a ser maior do que o estimado se ignorarmos a perda; o rebaixamento causado apenas pelo aquífero no poço seria menor do que os 9{,}05\\ \text{m} calculados, mas o rebaixamento medido no poço (que inclui perda local) seria maior.
Força aí — você já tem o procedimento, a fórmula e as contas prontas para a prova. Dá pra memorizar o raciocínio: transforme rebaixamentos em alturas h, use a relação h^2 de Dupuit, cancele R entre duas observações e resolve K. Boa sorte!

Resposta

K \approx 3{,}31\times 10^{-5}\\ \text{m/s}\nRebaixamento no poço (desprezando perda de carga): s_w \approx 9{,}05\\ \text{m}\nConsiderando perda de carga no poço: o valor estimado de K tenderia a aumentar (o K real é maior que o estimado se a perda local for ignorada) e o componente do rebaixamento atribuído apenas ao aquífero no poço seria menor que 9{,}05\\ \text{m} (porém o rebaixamento medido no poço seria maior porque inclui a perda local).

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