Um poço perfurado até a camada impermeável de um aquífero freático atingiu o comprimento de 30,0 \mathrm{~m} abaixo do nível estático. Sabendo-se que após longo período de bombeamento a uma taxa de 48 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} o abaixamento medido num poço distante 15,0 \mathrm{~m} do poço bombeado estabilizou-se em 3,50 \mathrm{~m}, e que o coeficiente de permeabilidade é 0,30 \mathrm{~m} / \mathrm{h}, determinar o raio de influência do poço no aquífero.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o raio de influência do poço no aquífero. Informações fornecidas (vou listar todas as quantidades dadas exatamente como estão no enunciado):
  • comprimento do poço abaixo do nível estático: 30{,}0\\ \mathrm{m} (isto é, a lâmina d’água penetrada — vamos usar isso como a espessura saturada do aquífero junto ao poço).
  • taxa de bombamento: Q=48\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • abaixamento estabilizado a uma distância: para r=15{,}0\\ \mathrm{m} tem-se s(r)=3{,}50\\ \mathrm{m}.
  • coeficiente de permeabilidade (condutividade hidráulica): k=0{,}30\\ \mathrm{m/h}.
  • o poço perfurou até a camada impermeável e, após longo tempo de bombeamento, o abatimento estabilizou (situação de regime permanente para um poço totalmente perfurante).
O que se pede: calcular o raio de influência do poço, que chamarei de R.

Passo 2

Qual fórmula vamos usar e por quê (explicação didática e sem pular passos).
Quando um poço perfura totalmente um aquífero homogêneo e o bombeamento atinge regime permanente (após longo tempo), o escoamento é radial e estacionário em torno do poço. Nessa situação clássica a relação entre o abatimento s medido a uma distância r do poço, a vazão Q e a transmissividade T do aquífero é dada pela equação de Thiem (ou Thiem-Dupuit), que vale para escoamento radial permanente em aquífero totalmente perfurado:
s(r)=\frac{Q}{2\pi T}\,\ln\!\left(\frac{R}{r}\right).
Aqui:
  • s(r) é o abatimento (em metros) no ponto a distância r do poço.
  • Q é a vazão de bombeamento (em \mathrm{m^{3}/h}).
  • T é a transmissividade do aquífero (em \mathrm{m^{2}/h}), definida abaixo.
  • R é o raio de influência que queremos achar — a distância hipotética onde o abatimento se anula.
  • r é a distância conhecida onde foi medida s.
Explicação do que é transmissividade: transmissividade T é a capacidade do aquífero de transmitir água em toda a espessura saturada; para um aquífero homogêneo com condutividade hidráulica k e espessura saturada b temos
T = k\,b.
No enunciado, o poço penetra 30{,}0\\ \mathrm{m} abaixo do nível estático até a camada impermeável — isso nos dá a espessura saturada b=30{,}0\\ \mathrm{m} para cálculo de T.

Passo 3

Transformar a equação para isolar R (álgebra passo a passo).
Partimos da equação de Thiem em regime permanente:
s(r)=\frac{Q}{2\pi T}\,\ln\!\left(\frac{R}{r}\right).
Multiplicamos ambos os lados por \dfrac{2\pi T}{Q}:
\frac{2\pi T}{Q}\,s(r)=\ln\!\left(\frac{R}{r}\right).
Agora aplicamos a exponencial (função inversa do logaritmo natural) para eliminar o logaritmo:
\exp\!\left(\frac{2\pi T}{Q}\,s(r)\right)=\frac{R}{r}.
Finalmente isolamos R:
R = r\;\exp\!\left(\frac{2\pi T\,s(r)}{Q}\right).
Esta é a fórmula que vamos usar numericamente. Observação: a razão dentro do exponencial é adimensional — é sempre bom checar unidades: T tem \mathrm{m^{2}/h}, s tem \mathrm{m}, Q tem \mathrm{m^{3}/h}, então \dfrac{T s}{Q} é adimensional.

Passo 4

Calcular a transmissividade T a partir de k e b.
Dados:
k=0{,}30\\ \mathrm{m/h},\qquad b=30{,}0\\ \mathrm{m}.
Logo
T = k\,b = 0{,}30\times 30{,}0 = 9{,}0\\ \mathrm{m^{2}/h}.
Expliquei: multiplicamos condutividade hidráulica pela espessura saturada para obter a transmissividade — é a área por tempo que expressa quanto de fluxo horizontal o aquífero permite.

Passo 5

Substituir todos os valores na fórmula de R e preparar os cálculos.
Usando
R = r\;\exp\!\left(\frac{2\pi T\,s}{Q}\right),
com os números:
r=15{,}0\\ \mathrm{m},\quad T=9{,}0\\ \mathrm{m^{2}/h},\quad s=3{,}50\\ \mathrm{m},\quad Q=48\\ \mathrm{m^{3}/h}.
Substituindo:
R = 15{,}0\;\exp\!\left(\frac{2\pi\cdot 9{,}0\cdot 3{,}50}{48}\right).

Passo 6

Fazer a aritmética do expoente de forma clara.
Primeiro calcule o produto dentro do numerador:
9{,}0\times 3{,}50 = 31{,}5.
Multiplicando por 2\pi:
2\pi\cdot 31{,}5 = 63\pi.
Dividindo por 48:
\frac{63\pi}{48}=\frac{21\pi}{16}.
Agora uma aproximação numérica (usando \pi\approx 3{,}14159265):
\frac{21\pi}{16}\approx 4{,}12334.
Portanto o expoente é aproximadamente 4{,}12334.

Passo 7

Calcular a exponencial e obter R.
Calculamos e^{4{,}12334}. Aproximação:
e^{4{,}12334}\approx 61{,}798.
Então
R = 15{,}0\times 61{,}798 \approx 926{,}97\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma usual, R\approx 927\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Verificação rápida de coerência física e comentário encorajador.
  • A ordem de grandeza (centenas de metros) é típica para aquíferos de alta transmissividade quando se bombeia com vazões moderadas; não é absurdo.
  • Conferimos unidades no expoente (todas cancelam) e a equação usada é consistente para poço totalmente perfurante em regime permanente.
Força aí — está feito! Você viu passo a passo como montar a transmissividade, usar a equação de Thiem, isolar R e fazer as contas.

Resposta

R\approx 927\\ \mathrm{m}

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