Um poço perfurado até a camada impermeável de um aquífero freático atingiu o comprimento de
abaixo do nível estático. Sabendo-se que após longo período de bombeamento a uma taxa de
o abaixamento medido num poço distante
do poço bombeado estabilizou-se em
, e que o coeficiente de permeabilidade é
, determinar o raio de influência do poço no aquífero.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o raio de influência do poço no aquífero. Informações fornecidas (vou listar todas as quantidades dadas exatamente como estão no enunciado):
- comprimento do poço abaixo do nível estático:
(isto é, a lâmina d’água penetrada — vamos usar isso como a espessura saturada do aquífero junto ao poço). - taxa de bombamento:
. - abaixamento estabilizado a uma distância: para
tem-se . - coeficiente de permeabilidade (condutividade hidráulica):
. - o poço perfurou até a camada impermeável e, após longo tempo de bombeamento, o abatimento estabilizou (situação de regime permanente para um poço totalmente perfurante).
O que se pede: calcular o raio de influência do poço, que chamarei de
.
Passo 2
Qual fórmula vamos usar e por quê (explicação didática e sem pular passos).
Quando um poço perfura totalmente um aquífero homogêneo e o bombeamento atinge regime permanente (após longo tempo), o escoamento é radial e estacionário em torno do poço. Nessa situação clássica a relação entre o abatimento
medido a uma distância
do poço, a vazão
e a transmissividade
do aquífero é dada pela equação de Thiem (ou Thiem-Dupuit), que vale para escoamento radial permanente em aquífero totalmente perfurado:
Aqui:
-
é o abatimento (em metros) no ponto a distância do poço. -
é a vazão de bombeamento (em ). -
é a transmissividade do aquífero (em ), definida abaixo. -
é o raio de influência que queremos achar — a distância hipotética onde o abatimento se anula. -
é a distância conhecida onde foi medida .
Explicação do que é transmissividade: transmissividade
é a capacidade do aquífero de transmitir água em toda a espessura saturada; para um aquífero homogêneo com condutividade hidráulica
e espessura saturada
temos
No enunciado, o poço penetra
abaixo do nível estático até a camada impermeável — isso nos dá a espessura saturada
para cálculo de
.
Passo 3
Transformar a equação para isolar
(álgebra passo a passo).
Partimos da equação de Thiem em regime permanente:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Agora aplicamos a exponencial (função inversa do logaritmo natural) para eliminar o logaritmo:
Finalmente isolamos
:
Esta é a fórmula que vamos usar numericamente. Observação: a razão dentro do exponencial é adimensional — é sempre bom checar unidades:
tem
,
tem
,
tem
, então
é adimensional.
Passo 4
Calcular a transmissividade
a partir de
e
.
Dados:
Logo
Expliquei: multiplicamos condutividade hidráulica pela espessura saturada para obter a transmissividade — é a área por tempo que expressa quanto de fluxo horizontal o aquífero permite.
Passo 5
Substituir todos os valores na fórmula de
e preparar os cálculos.
Usando
com os números:
Substituindo:
Passo 6
Fazer a aritmética do expoente de forma clara.
Primeiro calcule o produto dentro do numerador:
Multiplicando por
:
Dividindo por
:
Agora uma aproximação numérica (usando
):
Portanto o expoente é aproximadamente
.
Passo 7
Calcular a exponencial e obter
.
Calculamos
. Aproximação:
Então
Arredondando de forma usual,
.
Passo 8
Verificação rápida de coerência física e comentário encorajador.
- A ordem de grandeza (centenas de metros) é típica para aquíferos de alta transmissividade quando se bombeia com vazões moderadas; não é absurdo.
- Conferimos unidades no expoente (todas cancelam) e a equação usada é consistente para poço totalmente perfurante em regime permanente.
Força aí — está feito! Você viu passo a passo como montar a transmissividade, usar a equação de Thiem, isolar
e fazer as contas.