Resolva as seguintes EDOs
2 y^{\prime}+y=4 ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária com condição inicial:
2\,y'(x) + y(x) = 4,\qquad y(0)=1.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para todo x (solução geral) e que também satisfaça a condição inicial y(0)=1 (solução particular).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é y que depende de x, isto é y=y(x).
  • y'(x) denota a derivada de y em relação a x.
  • A equação é linear de primeira ordem com coeficientes constantes.
  • Há uma condição inicial em x=0.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão y'(x)+p(x)\,y(x)=q(x) facilita a solução. Dividindo ambos os lados por 2 obtemos:
y'(x)+\tfrac{1}{2}\,y(x)=2.
Aqui:
  • p(x)=\tfrac{1}{2} (é uma função constante),
  • q(x)=2 (função constante).
Explicação rápida do objetivo: para uma EDO linear de primeira ordem da forma y'+p(x)y=q(x) usamos um fator integrante \mu(x) tal que multiplicando a equação por \mu a esquerda fique exatamente a derivada de \mu(x)y(x). Isso transforma a EDO em algo integrável diretamente.

Passo 3

Definir o fator integrante \mu(x) pela fórmula
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
No nosso caso p(x)=\tfrac{1}{2}, então
\mu(x)=e^{\int \tfrac{1}{2}\,dx}=e^{x/2}.
Breve justificativa: ao calcular (\mu y)' temos
(\mu y)'=\mu y'+\mu' y.
Como \mu' = p\mu, fica (\mu y)'=\mu(y'+p y). Por isso multiplicar a equação original por \mu transforma o lado esquerdo em (\mu y)'.

Passo 4

Multiplicar a equação y'+\tfrac{1}{2}y=2 por \mu(x)=e^{x/2}:
e^{x/2}y'(x)+\tfrac{1}{2}e^{x/2}y(x)=2e^{x/2}.
Pelo raciocínio do passo anterior isso é a mesma coisa que
\bigl(e^{x/2}y(x)\bigr)'=2e^{x/2}.
Agora integra-se ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{x/2}y(x)\bigr)' \,dx = \int 2e^{x/2}\,dx.
O lado esquerdo dá simplesmente e^{x/2}y(x). O lado direito calcula-se assim:
\int 2e^{x/2}\,dx = 2\int e^{x/2}\,dx.
Como \dfrac{d}{dx}e^{x/2}=\tfrac{1}{2}e^{x/2}, tem-se \int e^{x/2}\,dx = 2e^{x/2}. Portanto
2\int e^{x/2}\,dx = 2\cdot 2 e^{x/2}=4e^{x/2}.
Incluindo a constante de integração C, obtemos:
e^{x/2}y(x)=4e^{x/2}+C.

Passo 5

Isolar y(x) dividindo por e^{x/2} (que nunca é zero):
y(x)=4 + C e^{-x/2},
onde C é uma constante arbitrária. Esta é a solução geral da equação diferencial (antes de impor a condição inicial).
Explicação do resultado: a solução geral é combinação de uma solução particular (a constante 4) e da solução geral da homogênea associada (termo C e^{-x/2}). A parte homogênea vem da EDO y'+\tfrac{1}{2}y=0, cuja solução é y_h=C e^{-x/2}.

Passo 6

Impor a condição inicial y(0)=1 para determinar C. Substituindo x=0 em y(x)=4 + C e^{-x/2} obtemos:
1 = y(0)=4 + C e^{0}=4 + C.
Logo
C=1-4=-3.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): com C=-3 a solução proposta é y(x)=4-3e^{-x/2}. Calcular y'(x):
y'(x)= -3\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)e^{-x/2}=\tfrac{3}{2}e^{-x/2}.
Substituir em 2y'+y:
2y'(x)+y(x)=2\cdot\tfrac{3}{2}e^{-x/2} + \bigl(4-3e^{-x/2}\bigr)=3e^{-x/2}+4-3e^{-x/2}=4,
o que confirma que a equação diferencial é satisfeita e que y(0)=4-3=1 satisfaz a condição inicial.

Resposta

y(x)=4-3e^{-x/2}

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