Resolva as seguintes EDOs
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária com condição inicial:
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para todo
(solução geral) e que também satisfaça a condição inicial
(solução particular).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
que depende de , isto é . -
denota a derivada de em relação a . - A equação é linear de primeira ordem com coeficientes constantes.
- Há uma condição inicial em
.
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão
facilita a solução. Dividindo ambos os lados por
obtemos:
Aqui:
-
(é uma função constante), -
(função constante).
Explicação rápida do objetivo: para uma EDO linear de primeira ordem da forma
usamos um fator integrante
tal que multiplicando a equação por
a esquerda fique exatamente a derivada de
. Isso transforma a EDO em algo integrável diretamente.
Passo 3
Definir o fator integrante
pela fórmula
No nosso caso
, então
Breve justificativa: ao calcular
temos
Como
, fica
. Por isso multiplicar a equação original por
transforma o lado esquerdo em
.
Passo 4
Multiplicar a equação
por
:
Pelo raciocínio do passo anterior isso é a mesma coisa que
Agora integra-se ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo dá simplesmente
. O lado direito calcula-se assim:
Como
, tem-se
. Portanto
Incluindo a constante de integração
, obtemos:
Passo 5
Isolar
dividindo por
(que nunca é zero):
onde
é uma constante arbitrária. Esta é a solução geral da equação diferencial (antes de impor a condição inicial).
Explicação do resultado: a solução geral é combinação de uma solução particular (a constante
) e da solução geral da homogênea associada (termo
). A parte homogênea vem da EDO
, cuja solução é
.
Passo 6
Impor a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
obtemos:
Logo
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): com
a solução proposta é
. Calcular
:
Substituir em
:
o que confirma que a equação diferencial é satisfeita e que
satisfaz a condição inicial.