Exercício 7.17. Em uma instalação industrial, um trocador de calor casco-tubos tipo TC-1.1 aquece 135000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de água ( c_{p}=1,0 \mathrm{Kcal} / \mathrm{Kg} .^{\circ} \mathrm{C} ) de 60^{\circ} \mathrm{C} a 112^{\circ} \mathrm{C}, por meio de vapor d’água condensando a 115^{\circ} \mathrm{C} no exterior dos tubos. O trocador tem 500 tubos de aço ( \varnothing_{\mathrm{e}}=2,1 \mathrm{~cm} ), de 10 m de comprimento. Admitindo que o coeficiente global de transferência de calor não se altera significativamente quando a vazão de água aumenta e que existe disponibilidade para elevação da vazão de vapor, calcular:
a) o coeficiente global de transferência de calor;
b) a temperatura da água na saída se sua vazão mássica for elevada em 50 %

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Vazão mássica inicial da água: \dot{m}_1=135000\\ \mathrm{kg/h} (peguei do enunciado).
    • Calor específico da água: c_p=1{,}0\\ \mathrm{kcal/(kg\,^{\circ}C)} (peguei do enunciado).
    • Temperatura de entrada da água: T_{\mathrm{in}}=60^{\circ}\mathrm{C} (peguei do enunciado).
    • Temperatura de saída da água (caso base): T_{\mathrm{out}}=112^{\circ}\mathrm{C} (peguei do enunciado).
    • Temperatura do vapor condensante: T_s=115^{\circ}\mathrm{C} (peguei do enunciado). Como é vapor condensando, a temperatura do fluido de aquecimento é praticamente constante em 115^{\circ}\mathrm{C}.
    • Número de tubos: N=500 (peguei do enunciado).
    • Diâmetro externo dos tubos: \varnothing_e=2{,}1\\ \mathrm{cm}=0{,}021\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
    • Comprimento dos tubos: L=10\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
  • O que o enunciado pede:
    (a) Calcular o coeficiente global de transferência de calor U (pressupõe-se unidades típicas \mathrm{kcal/(h\,m^{2}\,^{\circ}C)}, posso também converter para \mathrm{W/(m^{2}\,K)}).
    (b) Se a vazão mássica da água for aumentada em 50\% (ou seja, \dot{m}_2=1{,}5\dot{m}_1), calcular a nova temperatura de saída da água T_{\mathrm{out,2}}, admitindo que U não muda significativamente e que há vapor disponível para fornecer calor suficiente.
A partir daqui vou resolver passo a passo e explicar cada fórmula usada.

Passo 2

Calcular a potência térmica (fluxo de calor) entregue à água no caso inicial.
  • Ideia: a taxa de calor absorvida pela água é
\dot{Q}= \dot{m}\,c_p\,(T_{\mathrm{out}}-T_{\mathrm{in}}).
Explicação: \dot{m} é a vazão mássica (em \mathrm{kg/h} aqui), c_p é o calor específico ( \mathrm{kcal/(kg\,^{\circ}C)}), e a diferença de temperatura é a elevação de temperatura. O produto dá energia por hora em \mathrm{kcal/h}.
  • Substituindo os valores fornecidos:
\dot{Q}=135000\cdot 1{,}0\cdot(112-60)=135000\cdot 52=7020000\\ \mathrm{kcal/h}.
Portanto a potência térmica fornecida à água no caso inicial é \dot{Q}=7020000\\ \mathrm{kcal/h}.

Passo 3

Calcular a área de troca térmica externa dos tubos (área disponível para transferência de calor).
  • Cada tubo contribui com área externa lateral A_{\text{tubo}}=\pi d_e L. Para N tubos:
A = N\pi d_e L.
  • Substituindo:
A = 500\cdot\pi\cdot 0{,}021\cdot 10 = 105\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx 329{,}867\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicação: usei o diâmetro externo e comprimento para calcular a área lateral de cada tubo e somei para os 500 tubos.

Passo 4

Explicar e calcular a média logarítmica de temperatura (LMTD) para o caso em que um dos lados está à temperatura constante (vapor condensando).
  • Conceito: para um trocador com uma das correntes à temperatura constante T_s (vapor em condensação), e a outra corrente variando de T_{\mathrm{in}} a T_{\mathrm{out}}, as diferenças de temperatura nas extremidades são
\Delta T_1 = T_s - T_{\mathrm{in}},\qquad \Delta T_2 = T_s - T_{\mathrm{out}}.
A média logarítmica de temperatura é
\Delta T_{\mathrm{lm}} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Isto é a forma padrão do LMTD para um trocador com temperatura constante de uma das correntes (ou, de modo geral, para correntes de temperaturas variáveis).
  • No nosso caso:
\Delta T_1 = 115-60 = 55^{\circ}\mathrm{C},\qquad \Delta T_2 = 115-112 = 3^{\circ}\mathrm{C}.
Então
\Delta T_{\mathrm{lm}}=\frac{55-3}{\ln\!\left(\dfrac{55}{3}\right)}=\frac{52}{\ln(18{,}333\ldots)}\approx 17{,}892^{\circ}\mathrm{C}.
Pequeno comentário: a LMTD é uma média que pondera adequadamente as diferenças de temperatura variáveis ao longo do trocador.

Passo 5

Relação entre \dot{Q}, U, A e \Delta T_{\mathrm{lm}}, e cálculo de U.
  • Fórmula fundamental (definição de coeficiente global):
\dot{Q}=U\,A\,\Delta T_{\mathrm{lm}}.
Aqui \dot{Q} em \mathrm{kcal/h}, A em \mathrm{m^2}, \Delta T_{\mathrm{lm}} em {}^{\circ}\mathrm{C}, então U fica em \mathrm{kcal/(h\,m^{2}\,^{\circ}C)}.
  • Isolando U:
U=\frac{\dot{Q}}{A\,\Delta T_{\mathrm{lm}}}.
  • Substituindo os valores numéricos:
U=\frac{7020000}{329{,}867\cdot 17{,}892}\approx 1189{,}7\\ \mathrm{kcal/(h\,m^{2}\,^{\circ}C)}.
  • Conversão para unidades SI comuns (opcional, mas útil): 1\\ \mathrm{kcal/h}= \dfrac{4184\\ \mathrm{J}}{3600\\ \mathrm{s}}\approx 1{,}1622\\ \mathrm{W}. Assim
U\approx 1189{,}7\times 1{,}1622\approx 1383{,}5\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}.
Comentário: o valor de U depende do conjunto de resistências térmicas (convecção interna, condução na parede, convecção externa e incrustações). Aqui foi determinado a partir dos dados do processo.

Passo 6

Preparar o problema (b): elevar a vazão mássica da água em 50\% e encontrar a nova temperatura de saída.
  • Nova vazão:
\dot{m}_2 = 1{,}5\cdot 135000 = 202500\\ \mathrm{kg/h}.
  • Pressupostos: U e A permanecem essencialmente os mesmos; há vapor disponível para fornecer o calor requerido (ou seja, T_s continua 115^{\circ}\mathrm{C}).
  • Objetivo: encontrar T_{\mathrm{out,2}} tal que a potência absorvida pela água seja igual ao fluxo através da área com o mesmo U:
\dot{m}_2 c_p (T_{\mathrm{out,2}}-T_{\mathrm{in}}) = U A \Delta T_{\mathrm{lm}}(T_{\mathrm{out,2}}),
onde agora \Delta T_{\mathrm{lm}} depende de T_{\mathrm{out,2}} via \Delta T_2 = T_s - T_{\mathrm{out,2}}.

Passo 7

Simplificar a equação para resolver T_{\mathrm{out,2}}. Esta é a parte elegante: a expressão se simplifica bastante.
  • Escrevemos explicitamente:
\dot{m}_2 c_p (T_{\mathrm{out,2}}-T_{\mathrm{in}})=U A\cdot\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)},
com \Delta T_1 = T_s - T_{\mathrm{in}} = 55 e \Delta T_2 = T_s - T_{\mathrm{out,2}}.
  • Note que \Delta T_1-\Delta T_2=(T_s-T_{\mathrm{in}})-(T_s-T_{\mathrm{out,2}})=T_{\mathrm{out,2}}-T_{\mathrm{in}}. Assim o numerador fica exatamente (T_{\mathrm{out,2}}-T_{\mathrm{in}}).
  • Portanto a equação vira
\dot{m}_2 c_p (T_{\mathrm{out,2}}-T_{\mathrm{in}})=U A\cdot\frac{T_{\mathrm{out,2}}-T_{\mathrm{in}}}{\ln\!\left(\dfrac{55}{115-T_{\mathrm{out,2}}}\right)}.
  • Como T_{\mathrm{out,2}}\neq T_{\mathrm{in}} (há aquecimento), podemos cancelar o fator (T_{\mathrm{out,2}}-T_{\mathrm{in}}) nos dois lados, obtendo uma relação simples:
\dot{m}_2 c_p = U A \left/ \ln\!\left(\dfrac{55}{115-T_{\mathrm{out,2}}}\right)\right.
ou
\ln\!\left(\dfrac{55}{115-T_{\mathrm{out,2}}}\right)=\frac{U A}{\dot{m}_2 c_p}.
  • Isolando T_{\mathrm{out,2}}:
\frac{55}{115-T_{\mathrm{out,2}}} = \exp\!\left(\frac{U A}{\dot{m}_2 c_p}\right) \quad\Rightarrow\quad 115-T_{\mathrm{out,2}}=55\exp\!\left(-\frac{U A}{\dot{m}_2 c_p}\right),
portanto
T_{\mathrm{out,2}} = 115 - 55\exp\!\left(-\frac{U A}{\dot{m}_2 c_p}\right).
Comentário: cancelar (T_{\mathrm{out,2}}-T_{\mathrm{in}}) simplificou enormemente a solução — é uma propriedade prática quando uma das correntes está em mudança de fase (temperatura constante).

Passo 8

Calcular numericamente T_{\mathrm{out,2}} usando os valores já obtidos.
  • Primeiro calcular U A. Já tínhamos U\approx 1189{,}7\\ \mathrm{kcal/(h\,m^{2}\,^{\circ}C)} e A\approx 329{,}867\\ \mathrm{m^2}. Então
U A \approx 1189{,}7\cdot 329{,}867 \approx 392150\\ \mathrm{kcal/(h\,^{\circ}C)}.
  • Lembre-se que c_p=1{,}0\\ \mathrm{kcal/(kg\,^{\circ}C)} e \dot{m}_2=202500\\ \mathrm{kg/h}. Assim
\frac{U A}{\dot{m}_2 c_p}=\frac{392150}{202500\cdot 1{,}0}\approx 1{,}93673.
  • Calcular a exponencial:
\exp\!\left(-1{,}93673\right)\approx 0{,}14449.
  • Finalmente:
T_{\mathrm{out,2}} = 115 - 55\cdot 0{,}14449 \approx 115 - 7{,}947\approx 107{,}053^{\circ}\mathrm{C}.
Arredondando com sentido prático, T_{\mathrm{out,2}}\approx 107{,}05^{\circ}\mathrm{C}.

Resposta

(a) U\approx 1{,}19\times 10^{3}\\ \mathrm{kcal/(h\,m^{2}\,^{\circ}C)}\approx 1{,}38\times 10^{3}\\ \mathrm{W/(m^{2}\,K)}
(b) T_{\mathrm{out,2}}\approx 107{,}05^{\circ}\mathrm{C}

Exercícios relacionados