Considere um escoamento de Poiseuille circular, na direção axial, em regime transiente.
a) Estabelecer o modelo físico para o problema
b) Estabelecer os modelos matemáticos diferenciais dinâmico e térmico
c) Considere regime permanente e determinar as soluções contínuas dinâmica e térmica.
d) Modelar a vazão, para um gradiente de pressão dado.
e) Modelar a potência de bombeamento e a potência de transformação viscosa e mostrar que, no regime permanente, as duas são iguais.
f) Modelar o fluxo térmico entre o fluido e o ambiente, a uma temperatura . Mostrar que a energia térmica entregue ao ambiente, por unidade de tempo, deve ser, no regime permanente, igual à potência de bombeamento.
Passo 1
Beleza, a questão é sobre escoamento de Poiseuille numa tubulação circular, fluxo axial, fase transiente e térmica. A matéria é Mecânica dos Fluidos (Navier–Stokes) e Transferência de Calor (equação de energia). Vamos precisar do balanço de momento (forma simplificada para escoamento laminar em tubo) e da equação de energia com geração de calor por atrito viscoso. Depois a gente acha as soluções permanentes, fluxo, potência e calor trocado.
Passo 2
Modelo físico (item a)
– Fluido incompressível, newtoniano, laminar, escoando num tubo de raio , comprimento .
– Simetria axial e cilíndrica: a velocidade só depende de e , apontando em .
– Parede rígida, sem deslizamento (), eixo regular ( finito).
– Temperatura ambiente , troca térmica na parede (convecção).
Passo 3
Modelos matemáticos (item b)
Dinâmico (Navier–Stokes reduzido em coordenadas cilíndricas, sem inércia convectiva axial):
BC: , finito em .
Térmico (equação de energia unidimensional radial, incluindo dissipação viscosa ):
BC térmicas: simetria em , na parede .
Passo 4
Soluções no regime permanente (item c)
Dinâmica: 0=-l(-De e u(r) =De constante 0 = k1rddrl(rdTdrr) +mul(dudrr)^2, . A equação vira
T(r) = T(a)+(De
Integrando duas vezes e usando BC, dá
Térmica: em regime permanente,
[
0
k\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Bigl(r\frac{dT}{dr}\Bigr)
+\mu\Bigl(\frac{du}{dr}\Bigr)^2,
]
com . Integração leva a
[
T®