Considere um escoamento de Poiseuille circular, na direção axial, em regime transiente.
a) Estabelecer o modelo físico para o problema
b) Estabelecer os modelos matemáticos diferenciais dinâmico e térmico
c) Considere regime permanente e determinar as soluções contínuas dinâmica e térmica.
d) Modelar a vazão, para um gradiente de pressão dado.
e) Modelar a potência de bombeamento e a potência de transformação viscosa e mostrar que, no regime permanente, as duas são iguais.
f) Modelar o fluxo térmico entre o fluido e o ambiente, a uma temperatura Tinfty. Mostrar que a energia térmica entregue ao ambiente, por unidade de tempo, deve ser, no regime permanente, igual à potência de bombeamento.

Passo 1

Beleza, a questão é sobre escoamento de Poiseuille numa tubulação circular, fluxo axial, fase transiente e térmica. A matéria é Mecânica dos Fluidos (Navier–Stokes) e Transferência de Calor (equação de energia). Vamos precisar do balanço de momento (forma simplificada para escoamento laminar em tubo) e da equação de energia com geração de calor por atrito viscoso. Depois a gente acha as soluções permanentes, fluxo, potência e calor trocado.

Passo 2

Modelo físico (item a)
– Fluido incompressível, newtoniano, laminar, escoando num tubo de raio , comprimento .
– Simetria axial e cilíndrica: a velocidade só depende de e , apontando em .
– Parede rígida, sem deslizamento ( ), eixo regular ( finito).
– Temperatura ambiente , troca térmica na parede (convecção).

Passo 3

Modelos matemáticos (item b)
  1. Dinâmico (Navier–Stokes reduzido em coordenadas cilíndricas, sem inércia convectiva axial):
rho,partial upartial t ,=,-partial ppartial z ;+;mu;gl[1rpartialpartial rl(r,partial upartial rr)gr]
BC: rho cp,partial Tpartial t ;=; k;1rpartialpartial rl(r,partial Tpartial rr) ;+;mul(partial upartial rr)^2 , finito em .
  1. Térmico (equação de energia unidimensional radial, incluindo dissipação viscosa ):
BC térmicas: simetria em , na parede .

Passo 4

Soluções no regime permanente (item c)
  1. Dinâmica: 0=-l(-De e u(r) =De constante 0 = k1rddrl(rdTdrr) +mul(dudrr)^2, . A equação vira
T(r) = T(a)+(De
Integrando duas vezes e usando BC, dá
  1. Térmica: em regime permanente,

[
0

k\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\Bigl(r\frac{dT}{dr}\Bigr)
+\mu\Bigl(\frac{du}{dr}\Bigr)^2,
]
com . Integração leva a
[

T(a)+\frac{(\Delta p)2}{64,\mu,k,L2}\bigl(a4-r4\bigr),
]
onde será fixada pela condição de convecção na parede.

Passo 5

Vazão para gradiente de pressão dado (item d)
Q =integral0^2pi!!integral0^au(r),r,dr,dtheta =pi a^48,mu,De

Passo 6

Potência de bombeamento e de transformação viscosa (item e)
– Potência de bombeamento:
– Transformação viscosa:

Logo, em regime permanente,

Passo 7

Fluxo térmico para o ambiente (item f)
– Fluxo de calor pela parede:
dot Qrm conv =-2pi aL,k,dTdr|r=a =2pi aL;(De
Perceba que : a taxa de energia térmica entregue coincide com a potência de bombeamento.

Resposta

  1. Modelo físico: tubo cilíndrico, fluido newtoniano laminar, sem deslizamento, convecção externa.
  2. Equações dinâ­micas e térmicas transientes dadas acima.
  3. Soluções permanentes:
    u®= ,
    T®= .
  4. Vazão:
  5. Potência de bombeamento = dissipação viscosa =
  6. Fluxo térmico ao ambiente (regime permanente) = potência de bombeamento.

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