Considere o escoamento de Poiseuille totalmente desenvolvido entre duas placas paralelas infinitas separadas pela distância h, com as placas superior e inferior fixas, e um gradiente de pressão forçado \mathrm{dP} / \mathrm{dx} movendo o escoamento. O escoamento é incompressível, em regime permanente e bidimensional no plano xy.
Encontre: a) o perfil de velocidade; b) as velocidades máxima e média; c) a vazão e a tensão de cisalhamento nas placas; d) O escoamento é rotacional ou irrotacional?

Passo 1

O enunciado descreve o escoamento de Poiseuille totalmente desenvolvido, incompressível e permanente, entre duas placas paralelas separadas pela distância h. O único gradiente de força que impulsiona o fluido é a pressão variável em x, ou seja, \mathrm{d}P/\mathrm{d}x. Vamos usar a equação de Navier–Stokes em regime permanente e bidimensional, que em x reduz-se a
0 = -\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x} + \mu\,\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}y^2},
e as condições de contorno u(0)=0 e u(h)=0.

Passo 2

Integramos a equação
\frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}y^2} = \frac{1}{\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}
duas vezes em y. A primeira integração dá
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}\,y + C_1,
a segunda
u(y) = \frac{1}{2\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}\,y^2 + C_1\,y + C_2.
Aplicando u(0)=0 implica C_2=0. Em seguida u(h)=0 leva a
0 = \frac{1}{2\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}\,h^2 + C_1\,h \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -\frac{h}{2\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}.
Logo o perfil de velocidade é
u(y) = \frac{1}{2\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}\,\bigl(y^2 - hy\bigr).

Passo 3

A velocidade máxima ocorre no ponto onde \mathrm{d}u/\mathrm{d}y=0, ou seja em y=h/2. Substituindo em u(y) obtemos
u_{\max} = u\!\Bigl(\tfrac{h}{2}\Bigr) = \frac{1}{2\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}\,\Bigl(\tfrac{h^2}{4} - \tfrac{h^2}{2}\Bigr) = -\frac{h^2}{8\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}.
A velocidade média é
\bar{u} = \frac{1}{h}\int_{0}^{h}u(y)\,\mathrm{d}y = -\frac{h^2}{12\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x},
e nota-se que \bar{u} = \tfrac{2}{3}\,u_{\max}.

Passo 4

A vazão por unidade de largura (no eixo z) é
Q = \int_{0}^{h}u(y)\,\mathrm{d}y = -\frac{h^3}{12\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}.
A tensão de cisalhamento na parede é \tau_{xy}=\mu\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}y. Usando
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}\,\bigl(y-\tfrac{h}{2}\bigr),
temos em y=0:
\tau_{w}(0)=\mu\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\Big|_{y=0} = -\frac{h}{2}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x},
e em y=h:
\tau_{w}(h)=\mu\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\Big|_{y=h} = +\frac{h}{2}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}.

Passo 5

A vorticidade tem componente \omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}, que em geral é não-nula. Portanto o escoamento é rotacional.

Resposta

a) O perfil de velocidade é
u(y) = \frac{1}{2\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}\,\bigl(y^2 - hy\bigr).
b) A velocidade máxima é
u_{\max} = -\frac{h^2}{8\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x},
e a velocidade média é
\bar{u} = -\frac{h^2}{12\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x} \quad\bigl(\bar{u}=\tfrac{2}{3}u_{\max}\bigr).
c) A vazão por unidade de comprimento em z é
Q = -\frac{h^3}{12\mu}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x},
e as tensões de cisalhamento nas placas são
\tau_{w}(0)=-\frac{h}{2}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}, \quad \tau_{w}(h)=+\frac{h}{2}\,\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}x}.
d) O escoamento é rotacional.

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