Considere a forma geral do teorema de transporte de Reynolds (TTR) dada por
onde
é a velocidade do fluido com relação à superfície de controle.
Sabemos que para um sistema
uma vez que, por definição, nenhuma massa pode entrar ou sair do sistema.
a) Deduza a equação da conservação da massa para um volume de controle.
b) Sabemos que para um sistema, a segunda lei de Newton é
Deduza a equação de conservação de conservação da quantidade de movimento para um volume de controle.
c) Explique o significado físico de cada termo das equações deduzidas.
Sabemos que para um sistema
a) Deduza a equação da conservação da massa para um volume de controle.
b) Sabemos que para um sistema, a segunda lei de Newton é
c) Explique o significado físico de cada termo das equações deduzidas.
Passo 1
O enunciado apresenta o Teorema de Transporte de Reynolds (TTR) em sua forma geral para uma propriedade extensiva
de um sistema móvel, e pede para deduzir:
- A equação de conservação de massa para um volume de controle (VC).
- A equação de conservação de quantidade de movimento (momento) para um VC, a partir da Segunda Lei de Newton aplicada ao sistema.
- O significado físico de cada termo nessas equações.
Para isso vamos usar a forma integral do TTR e, em seguida, aplicar o Teorema de Gauss (divergência) para passar à forma local (diferencial).
Passo 2
Derivando a conservação de massa integral.
Escolhemos , de modo que
. Pelo TTR:
Escolhemos
Como para o sistema
, segue-se
Esta é a forma integral da conservação de massa.
Passo 3
Convertendo à forma diferencial usamos o Teorema de Gauss:
Como o volume de controle é arbitrário, o integrando deve se anular:
Esta é a forma local (diferencial) da conservação de massa.
Passo 4
Derivando a conservação de quantidade de movimento integral.
Escolhemos , de modo que
. O TTR dá
Escolhemos
Pela Segunda Lei de Newton para o sistema, isso é igual à soma das forças atuantes no sistema:
No volume de controle, separamos
, onde tipicamente
e, para fluido perfeito,
.
Assim a forma integral fica
Passo 5
Convertendo à forma diferencial aplicamos de novo o Teorema de Gauss ao termo de escoamento e ao termo de tensão superficial:
onde
é o tensor de tensões (para fluido perfeito
). Portanto, no diferencial:
Para fluido newtoniano perfeito:
Passo 6
Interpretação física dos termos:
– Na equação de massa integral o termo
é a taxa de variação de massa acumulada dentro do VC, e
é o fluxo líquido de massa que atravessa a superfície de controle. A soma nula significa que qualquer variação interna é compensada pelo fluxo na superfície.
– Na equação de momento integral o termo
representa a taxa de variação de momento acumulado no VC,
é o fluxo de momento convectivo através da SC,
é a força de corpo (gravidade) e
são as forças de superfície (pressão e tensões viscosas). A igualdade exprime que a variação de momento no VC e por escoamento é igual à soma dessas forças.
Resposta
a) Integral:
Diferencial:
b) Integral:
Diferencial (fluido perfeito):
c) O termo temporal é a taxa de acumulação no VC, o termo de superfície é o fluxo convectivo através da SC,
são forças de corpo e
são forças de superfície (pressão/tensão).