Considere a forma geral do teorema de transporte de Reynolds (TTR) dada por
\frac{D B_{s i s}}{D t}=\frac{\partial}{\partial t} \int_{v c} b \rho d V+\int_{s c} b \rho \vec{V} \cdot \vec{n} d A
onde \vec{V} é a velocidade do fluido com relação à superfície de controle.
Sabemos que para um sistema
\frac{D m_{s i s}}{D t}=0
uma vez que, por definição, nenhuma massa pode entrar ou sair do sistema.
a) Deduza a equação da conservação da massa para um volume de controle.
b) Sabemos que para um sistema, a segunda lei de Newton é
\frac{D(m \vec{V})_{s i s}}{D t}=\sum \vec{F}_{s i s}
Deduza a equação de conservação de conservação da quantidade de movimento para um volume de controle.
c) Explique o significado físico de cada termo das equações deduzidas.

Passo 1

O enunciado apresenta o Teorema de Transporte de Reynolds (TTR) em sua forma geral para uma propriedade extensiva B_{sis} de um sistema móvel, e pede para deduzir:
  1. A equação de conservação de massa para um volume de controle (VC).
  2. A equação de conservação de quantidade de movimento (momento) para um VC, a partir da Segunda Lei de Newton aplicada ao sistema.
  3. O significado físico de cada termo nessas equações.
Para isso vamos usar a forma integral do TTR e, em seguida, aplicar o Teorema de Gauss (divergência) para passar à forma local (diferencial).

Passo 2

Derivando a conservação de massa integral.
Escolhemos b=1, de modo que B_{sis}=m_{sis}. Pelo TTR:
\frac{D m_{sis}}{Dt} =\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\rho\,dV +\int_{SC}\rho\,\vec V\cdot\vec n\,dA.
Como para o sistema \frac{D m_{sis}}{Dt}=0, segue-se
\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\rho\,dV +\int_{SC}\rho\,\vec V\cdot\vec n\,dA =0.
Esta é a forma integral da conservação de massa.

Passo 3

Convertendo à forma diferencial usamos o Teorema de Gauss:
\int_{SC}\rho\,\vec V\cdot\vec n\,dA =\int_{VC}\nabla\!\cdot(\rho\vec V)\,dV.
Como o volume de controle é arbitrário, o integrando deve se anular:
\frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\!\cdot(\rho\vec V)=0.
Esta é a forma local (diferencial) da conservação de massa.

Passo 4

Derivando a conservação de quantidade de movimento integral.
Escolhemos b=\vec V, de modo que B_{sis}=(m\vec V)_{sis}. O TTR dá
\frac{D(m\vec V)_{sis}}{Dt} =\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\rho\,\vec V\,dV +\int_{SC}\rho\,\vec V\,(\vec V\cdot\vec n)\,dA.
Pela Segunda Lei de Newton para o sistema, isso é igual à soma das forças atuantes no sistema:
\frac{D(m\vec V)_{sis}}{Dt} =\sum\vec F_{sis}.
No volume de controle, separamos \sum\vec F_{sis}=\vec F_{body}+\vec F_{surface}, onde tipicamente
\vec F_{body}=\int_{VC}\rho\,\vec g\,dV, \qquad \vec F_{surface}=\int_{SC}\vec t\,dA
e, para fluido perfeito, \vec t=-p\,\vec n.
Assim a forma integral fica
\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\rho\,\vec V\,dV +\int_{SC}\rho\,\vec V\,(\vec V\cdot\vec n)\,dA =\int_{VC}\rho\,\vec g\,dV +\int_{SC}\vec t\,dA.

Passo 5

Convertendo à forma diferencial aplicamos de novo o Teorema de Gauss ao termo de escoamento e ao termo de tensão superficial:
\int_{SC}\rho\,\vec V\,(\vec V\cdot\vec n)\,dA =\int_{VC}\nabla\!\cdot(\rho\,\vec V\otimes\vec V)\,dV, \quad \int_{SC}\vec t\,dA =\int_{VC}\nabla\!\cdot\boldsymbol\tau\,dV,
onde \boldsymbol\tau é o tensor de tensões (para fluido perfeito \boldsymbol\tau=-p\,\mathbf I). Portanto, no diferencial:
\frac{\partial(\rho\vec V)}{\partial t} +\nabla\!\cdot\bigl(\rho\,\vec V\otimes\vec V\bigr) =\rho\,\vec g+\nabla\!\cdot\boldsymbol\tau.
Para fluido newtoniano perfeito:
\frac{\partial(\rho\vec V)}{\partial t} +\nabla\!\cdot(\rho\,\vec V\otimes\vec V) =\rho\,\vec g-\nabla p.

Passo 6

Interpretação física dos termos:
– Na equação de massa integral o termo \displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\rho\,dV é a taxa de variação de massa acumulada dentro do VC, e \displaystyle\int_{SC}\rho\,\vec V\cdot\vec n\,dA é o fluxo líquido de massa que atravessa a superfície de controle. A soma nula significa que qualquer variação interna é compensada pelo fluxo na superfície.
– Na equação de momento integral o termo \displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\rho\,\vec V\,dV representa a taxa de variação de momento acumulado no VC, \displaystyle\int_{SC}\rho\,\vec V\,(\vec V\cdot\vec n)\,dA é o fluxo de momento convectivo através da SC, \displaystyle\int_{VC}\rho\,\vec g\,dV é a força de corpo (gravidade) e \displaystyle\int_{SC}\vec t\,dA são as forças de superfície (pressão e tensões viscosas). A igualdade exprime que a variação de momento no VC e por escoamento é igual à soma dessas forças.

Resposta

a) Integral:
\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\rho\,dV +\int_{SC}\rho\,\vec V\cdot\vec n\,dA =0.
Diferencial:
\frac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\!\cdot(\rho\vec V)=0.
b) Integral:
\frac{\partial}{\partial t}\int_{VC}\rho\,\vec V\,dV +\int_{SC}\rho\,\vec V\,( \vec V\cdot\vec n)\,dA =\int_{VC}\rho\,\vec g\,dV +\int_{SC}\vec t\,dA.
Diferencial (fluido perfeito):
\frac{\partial(\rho\vec V)}{\partial t} +\nabla\!\cdot(\rho\,\vec V\otimes\vec V) =\rho\,\vec g-\nabla p.
c) O termo temporal é a taxa de acumulação no VC, o termo de superfície é o fluxo convectivo através da SC, \rho\,\vec g são forças de corpo e \vec t são forças de superfície (pressão/tensão).

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