8.21 Dois fluidos imiscíveis estão contidos entre placas paralelas infinitas. As placas estão separadas pela distância 2 h, e as duas camadas de fluidos têm espessuras iguais, h; a viscosidade dinâmica do fluido superior é três vezes aquela do fluido inferior. Se a placa inferior é estacionária e a placa superior move com velocidade constante U=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é a velocidade na interface? Admita escoamentos laminares e o gradiente de pressão na direção do escoamento como zero.

Passo 1

O problema descreve um escoamento de Couette em duas camadas de fluido imiscíveis entre placas paralelas distantes 2h. A camada inferior (fluido 1) tem espessura h e viscosidade \mu_1; a camada superior (fluido 2) também tem espessura h mas viscosidade \mu_2=3\mu_1. A placa inferior está em repouso e a superior desloca-se com velocidade constante U=5\\ \mathrm{m/s}. Não há gradiente de pressão e o escoamento é laminar. Vamos usar a equação de equilíbrio de esforços de cisalhamento ( \tau=\mu\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}y) em cada camada, mais as condições de contorno de não deslizamento e de continuidade de velocidade e de tensão no interface.

Passo 2

Em cada camada a tensão de cisalhamento é constante (pois \mathrm{d}p/\mathrm{d}x=0), logo
\tau = \mu_1 \frac{\mathrm{d}v_1}{\mathrm{d}y} \quad\text{em }0\le y\le h,
\tau = \mu_2 \frac{\mathrm{d}v_2}{\mathrm{d}y} \quad\text{em }h\le y\le 2h.
Integrando em cada região:
v_1(y) = \frac{\tau}{\mu_1}\,y + C_1, \quad v_2(y) = \frac{\tau}{\mu_2}\,(y - 2h) + C_2.

Passo 3

Aplicando as condições de não deslizamento:
v_1(0)=0 \implies C_1=0,
v_2(2h)=U \implies U = \frac{\tau}{\mu_2}(2h-2h) + C_2 \implies C_2 = U.
Logo
v_1(y) = \frac{\tau}{\mu_1}\,y, \quad v_2(y) = U + \frac{\tau}{\mu_2}(y - 2h).

Passo 4

No interface ( y=h) impomos continuidade de velocidade:
v_1(h) = v_2(h) \;\Longrightarrow\; \frac{\tau}{\mu_1}\,h = U + \frac{\tau}{\mu_2}(h - 2h) = U - \frac{\tau}{\mu_2}\,h.
Reagrupando,
\tau\Bigl(\frac{h}{\mu_1} + \frac{h}{\mu_2}\Bigr) = U \;\Longrightarrow\; \tau = \frac{U}{h\bigl(\tfrac1{\mu_1}+\tfrac1{\mu_2}\bigr)} = \frac{U\,\mu_1\,\mu_2}{h(\mu_1+\mu_2)}.
Como \mu_2=3\mu_1, temos \mu_1+\mu_2=4\mu_1 e \mu_1\mu_2=3\mu_1^2, então
\tau = \frac{U\,3\mu_1^2}{h\,(4\mu_1)} = \frac{3}{4}\,\frac{U\,\mu_1}{h}.

Passo 5

A velocidade na interface é
v_{\text{int}} = v_1(h) = \frac{\tau}{\mu_1}\,h = \frac{3}{4}\,\frac{U\,\mu_1}{h}\,\frac{h}{\mu_1} = \frac{3}{4}\,U.
Substituindo U=5\\ \mathrm{m/s}
v_{\text{int}} = \frac{3}{4}\times 5 = 3{,}75\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade na interface vale 3{,}75\\ \mathrm{m/s}.

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