8.21 Dois fluidos imiscíveis estão contidos entre placas paralelas infinitas. As placas estão separadas pela distância
, e as duas camadas de fluidos têm espessuras iguais,
; a viscosidade dinâmica do fluido superior é três vezes aquela do fluido inferior. Se a placa inferior é estacionária e a placa superior move com velocidade constante
, qual é a velocidade na interface? Admita escoamentos laminares e o gradiente de pressão na direção do escoamento como zero.
Passo 1
O problema descreve um escoamento de Couette em duas camadas de fluido imiscíveis entre placas paralelas distantes
. A camada inferior (fluido 1) tem espessura
e viscosidade
; a camada superior (fluido 2) também tem espessura
mas viscosidade
. A placa inferior está em repouso e a superior desloca-se com velocidade constante
. Não há gradiente de pressão e o escoamento é laminar. Vamos usar a equação de equilíbrio de esforços de cisalhamento (
) em cada camada, mais as condições de contorno de não deslizamento e de continuidade de velocidade e de tensão no interface.
Passo 2
Em cada camada a tensão de cisalhamento é constante (pois
), logo
Integrando em cada região:
Passo 3
Aplicando as condições de não deslizamento:
Logo
Passo 4
No interface (
) impomos continuidade de velocidade:
Reagrupando,
Como
, temos
e
, então
Passo 5
A velocidade na interface é
Substituindo
dá
Resposta
A velocidade na interface vale
.