( 2,0 \mathrm{pts} ) Considere um canal infinito com água pura em repouso que subitamente é colocado em contato com um reservatório de água salgada. A concentração de sal no tanque não varia com o tempo e é igual a 10,0 \mathrm{mg} / \mathrm{L}. Escreva a equação governante para o transporte de sal no canal. Se a difusividade do sal na água pura é 0,01 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, determine a concentração de sal em uma seção no canal distante 30,0 \mathrm{~m} do reservatório de água salqada, após 3 horas do início do contato.

Passo 1

O problema trata de difusão unidimensional de sal em um canal semi-infinito inicialmente com água pura em repouso, que a partir de t=0 entra em contato em x=0 com um reservatório cuja concentração é constante e igual a 10{,}0\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}. O conteúdo da matéria é a equação de difusão (transporte por difusão) em meio homogêneo e isotrópico, sem escoamento, e vamos usar a solução canônica para meio semi-infinito com concentração de contorno constante.

Passo 2

A equação governante para a concentração C(x,t) é a equação de difusão pura em 1-D:
\frac{\partial C}{\partial t} \;=\; D\,\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}},
com condições iniciais e de contorno
C(x,0)=0,\quad C(0,t)=C_{0}=10{,}0\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L},\quad C(x\to\infty,t)=0,
onde D=0{,}01\\ \mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}.

Passo 3

A solução para este problema (semi-infinito com borda a concentração constante) é
C(x,t)=C_{0}\,\mathrm{erfc}\!\biggl(\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}\biggr).

Passo 4

Agora calculamos em x=30{,}0\\ \mathrm{m} e t=3\\ \mathrm{h}=3\times3600=10800\\ \mathrm{s}:
D\,t=0{,}01\times10800=108\\ \mathrm{m}^{2},\qquad 2\sqrt{D\,t}=2\sqrt{108}\approx20{,}78\\ \mathrm{m},
\eta=\frac{x}{2\sqrt{D\,t}}=\frac{30}{20{,}78}\approx1{,}443.
Usando tabela ou aproximação de função erro complementar,
\mathrm{erfc}(1{,}443)\approx0{,}043. Portanto
C(30\,\mathrm{m},\,3\,\mathrm{h}) =10{,}0\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}\times0{,}043 \approx0{,}43\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.

Resposta

A equação governante é
\frac{\partial C}{\partial t}=D\frac{\partial^{2}C}{\partial x^{2}}
com C(x,0)=0, C(0,t)=10{,}0\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}, C(\infty,t)=0, cuja solução é
C(x,t)=10{,}0\,\mathrm{erfc}\!\Bigl(\frac{x}{2\sqrt{0{,}01\,t}}\Bigr).
Para x=30{,}0\\ \mathrm{m} e t=3\\ \mathrm{h}, obtém-se
\displaystyle C\approx0{,}43\\ \mathrm{mg}/\mathrm{L}.

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