Considere uma esfera e uma barra, ambas feitas do mesmo material. Inicialmente elas estão à mesma températura e o diâmetro inicial da esfera é exatamente o comprimento inicial da barra. Suponha que as aqueçamos para a mesma temperatura final. Qual a razão entre o diâmetro final da esfera e o comprimento final da barra?
Escolha uma opção:
◯ a. 1 / 3
◯ b. 9
◯ c. 1
◯ d. 27
◯ e. 1 / 27

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Há uma esfera e uma barra, ambas feitas do mesmo material.
  • Inicialmente a esfera tem diâmetro D_0 e a barra tem comprimento L_0.
  • Foi dito que o diâmetro inicial da esfera é exatamente o comprimento inicial da barra, ou seja D_0 = L_0.
  • Ambas são aquecidas até a mesma temperatura final (mesmo aumento de temperatura \Delta T).
  • Pergunta: qual a razão entre o diâmetro final da esfera e o comprimento final da barra?

Passo 2

Conceito básico que vamos usar: expansão linear térmica.
  • Para um sólido isotrópico (mesmo comportamento em todas as direções) e para pequenas variações de temperatura, o comprimento de uma dimensão linear muda segundo a fórmula
\Delta L = \alpha\,L_0\,\Delta T,
onde:
  • \Delta L é a variação do comprimento,
  • \alpha é o coeficiente de expansão linear do material (constante do material),
  • L_0 é o comprimento inicial,
  • \Delta T é a variação de temperatura.
  • A partir disso o comprimento final vale
L_f = L_0 + \Delta L = L_0\,(1 + \alpha\,\Delta T).
Expliquei isso devagar porque é a fórmula que sempre aparece em provas: o fator multiplicativo é 1+\alpha\Delta T aplicado a qualquer dimensão linear do objeto (comprimento, largura, raio, diâmetro etc.).

Passo 3

Aplicando ao comprimento da barra: se a barra tem comprimento inicial L_0, então o comprimento final da barra é
L_f = L_0\,(1 + \alpha\,\Delta T).
Aqui \alpha é o mesmo para os dois corpos porque são do mesmo material, e \Delta T é o mesmo porque foram aquecidos à mesma temperatura final.

Passo 4

Aplicando ao diâmetro da esfera: o diâmetro é uma dimensão linear da esfera. Logo, o diâmetro final da esfera é
D_f = D_0\,(1 + \alpha\,\Delta T).
Reforçando: embora se fale também em coeficiente volumétrico (usado para volumes), o diâmetro é uma grandeza linear e expande com o mesmo fator linear 1+\alpha\Delta T.

Passo 5

Agora calculamos a razão pedida:
\frac{D_f}{L_f}=\frac{D_0(1+\alpha\,\Delta T)}{L_0(1+\alpha\,\Delta T)}.
Como D_0=L_0 (dado inicial), o fator (1+\alpha\,\Delta T) cancela, restando
\frac{D_f}{L_f}=\frac{D_0}{L_0}=1.

Passo 6

Interpretação final e cuidado com erros comuns: a razão é 1 porque ambas as medidas são lineares e o material é o mesmo. Erro comum é confundir com expansão volumétrica e querer usar \beta (coeficiente volumétrico) ou elevar fatores ao cubo — isso é irrelevante aqui porque não se pediu razão entre volumes, e sim entre dimensões lineares (diâmetro e comprimento).

Resposta

c. 1

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