Uma partícula descreve um movimento circular uniforme. Os vetores \vec{v}, \vec{a}_{T} e \vec{a}_{R} são os vetores velocidade total, aceleração tangencial e aceleração radial, respectivamente. Quais afirmativas são verdadeiras:
I- \vec{v} é constante.
\|-\vec{a}_{T}=\overrightarrow{0}.
III -\vec{a}_{R}=\overrightarrow{0}.
Escolha uma opção:
◯ a. Somente a afirmativa I.
◯ b. Somente a afirmativa II.
◯ c. Somente a afirmativa III.
◯ d. Afirmativas I e II.
◯ e. Afirmativas I e III.
◯ f. Afirmativas II e III.
◯ g. Nenhuma afirmativa é verdadeira.
◯ h. Todas as afirmativas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma partícula descreve um movimento circular uniforme (MCU).
  • Os vetores envolvidos são \vec{v} (velocidade total), \vec{a}_T (aceleração tangencial) e \vec{a}_R (aceleração radial).
  • As afirmativas a verificar são:
    I- \vec{v} é constante.
    II- \vec{a}_{T}=\overrightarrow{0}.
    III- \vec{a}_{R}=\overrightarrow{0}.
A pergunta: quais dessas afirmativas são verdadeiras (escolher uma das opções dadas)?

Passo 2

Vamos lembrar, com calma e sem pressa, o que significa movimento circular uniforme. MCU quer dizer:
  • A partícula descreve uma trajetória circular de raio R.
  • A velocidade escalar (o módulo da velocidade) é constante no tempo; normalmente escrevemos essa velocidade escalar como v.
  • A taxa angular \omega é constante, e vale v=R\omega.
Esses pontos já nos dão pistas: em MCU a velocidade escalar é constante, mas a direção da velocidade muda continuamente por causa da curvatura (é um círculo). Isso afeta diretamente a afirmativa I.

Passo 3

Para ver isso de forma concreta, vou escrever a posição da partícula num referencial cartesiano (uma forma prática e didática). Uma parametrização comum para MCU é:
\vec{r}(t)=R\big(\cos(\omega t),\,\sin(\omega t)\big).
Aqui:
  • R é o raio do círculo (constante),
  • \omega é a velocidade angular (constante),
  • t é o tempo.
A velocidade é a derivada temporal da posição:
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=R\big(-\omega\sin(\omega t),\,\omega\cos(\omega t)\big)=\omega R\big(-\sin(\omega t),\,\cos(\omega t)\big).

Passo 4

Analisando \vec{v}(t):
  • O módulo de \vec{v}(t) é
\|\vec{v}(t)\|=\omega R,
que é constante (é isso que quer dizer velocidade escalar constante).
  • Mas \vec{v}(t) depende de \sin(\omega t) e \cos(\omega t), ou seja, sua direção varia com t. Portanto o vetor \vec{v} não é constante como vetor — muda de direção mesmo que o módulo seja fixo.
Conclusão intermediária: a afirmativa I ( \vec{v} é constante) é falsa.

Passo 5

Agora calculemos a aceleração total, que é a derivada de \vec{v}(t):
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=R\big(-\omega^2\cos(\omega t),\,-\omega^2\sin(\omega t)\big)=-\omega^2\vec{r}(t).
Isso mostra que a aceleração é sempre dirigida para o centro do círculo (oposta ao vetor posição) e tem módulo
\|\vec{a}\|=\omega^2 R.
Em termos usuais de MCU, essa aceleração é a aceleração centrípeta (radial) e sua expressão em função da velocidade escalar é
\|\vec{a}_R\|=\frac{v^2}{R}.
Como \|\vec{a}\|=\omega^2 R>0 (supondo R>0 e \omega\neq0), a componente radial da aceleração é diferente de zero.
Portanto a afirmativa III ( \vec{a}_{R}=\overrightarrow{0}) é falsa.

Passo 6

Resta analisar a aceleração tangencial \vec{a}_T. Por definição, a aceleração total \vec{a} pode ser decomposta em componente tangencial e componente radial (normal):
\vec{a}=\vec{a}_T+\vec{a}_R,
com
\vec{a}_T=\frac{d\|\vec{v}\|}{dt}\,\hat{t},
onde \hat{t} é o versor tangente à trajetória e \|\vec{v}\| é o módulo da velocidade. Em MCU, por definição, o módulo da velocidade é constante, então
\frac{d\|\vec{v}\|}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{a}_T=\overrightarrow{0}.
Assim a afirmativa II ( \vec{a}_{T}=\overrightarrow{0}) é verdadeira.

Passo 7

Resumo lógico:
  • I é falsa (vetor velocidade muda de direção → não é constante).
  • II é verdadeira (velocidade escalar constante → aceleração tangencial nula).
  • III é falsa (existe aceleração radial centrípeta diferente de zero).
Portanto, entre as opções dadas, a correta é a que afirma somente a afirmativa II.

Resposta

b. Somente a afirmativa II.

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