Considere uma esfera condutora de raio a, descarregada. A esfera é colocada em uma região que tem um campo elétrico uniforme \vec{E}_{0}.
(a) Encontre a densidade de cargas sobre a superfície da esfera e, em seguida, integre-a. O resultado faz sentido?
(b) Encontre o potencial fora da esfera e seu gradiente.
(c) Encontre o campo fora da esfera e seu rotacional.
(d) Encontre a carga líquida sobre a esfera.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Uma esfera condutora de raio a, inicialmente descarregada (ou seja, carga total nula inicialmente).
    • A esfera é colocada numa região onde existe um campo elétrico uniforme \vec{E}_{0}. Vou tomar \vec{E}_{0}=E_{0}\,\hat z (direção z), sem perda de generalidade.
    • A esfera é condutora (portanto o campo elétrico no interior da esfera é nulo e a superfície é um equipotencial).
  • O que o enunciado pede:
    (a) Encontrar a densidade de carga \sigma sobre a superfície da esfera e integrar essa densidade para ver se o resultado faz sentido.
    (b) Encontrar o potencial \Phi fora da esfera e seu gradiente \nabla\Phi.
    (c) Encontrar o campo \vec{E} fora da esfera e seu rotacional \nabla\times\vec{E}.
    (d) Determinar a carga líquida sobre a esfera (i.e. Q=\int\sigma\,dA).
Agora começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Escolha de coordenadas e forma geral da solução (intuição + ferramenta matemática).
  • Intuição física e simetria: o campo externo uniforme tem uma direção preferencial (direção z), então o problema é axisimétrico em relação ao eixo z. É natural usar coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com \theta medido a partir do eixo z.
  • Como não há dependência em \varphi (simetria axial), a solução do potencial fora da esfera depende apenas de r e \theta.
  • Em regiões sem cargas livres (fora da superfície), o potencial satisfa z a equação de Laplace \nabla^{2}\Phi=0. Para problemas axisimétricos, as soluções regulares são séries em funções harmônicas esféricas, e o termo de ordem l=1 (proporcional a \cos\theta) descreve campos dipolares e o campo uniforme imposto. Portanto a forma geral do potencial fora da esfera (para r\ge a) que respeita a simetria é \Phi(r,\theta)=\left(A r + \frac{B}{r^{2}}\right)\cos\theta,onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno.
Vou explicar por que essa forma: ao separar variáveis para Laplace em coordenadas esféricas, os modos angulares são P_{l}(\cos\theta); para l=1 temos P_{1}(\cos\theta)=\cos\theta. As soluções radiais são r^{l} e r^{-(l+1)}; para l=1 isso dá r e r^{-2}. Como o campo externo uniforme tem potencial (na ausência da esfera) \Phi_{\infty}=-E_{0}r\cos\theta (correspondendo a \vec{E}=-\nabla\Phi_{\infty}=E_{0}\,\hat z), o termo proporcional a r\cos\theta deve ter coeficiente -E_{0} para ajustar o comportamento à distância grande.

Passo 3

Aplicar condições de contorno para determinar A e B.
As condições de contorno relevantes:
  • Comportamento à distância grande (campo imposto): \Phi(r,\theta)\xrightarrow[r\to\infty]{} -E_{0} r\cos\theta. Isso fixa A=-E_{0}.
  • Na superfície do condutor r=a o potencial é constante (equipotencial). Para um condutor neutro colocado num campo uniforme, a solução padrão mostra que essa constante é zero (ou seja, o potencial sobre a superfície pode ser escolhida como zero sem perda de generalidade — vou mostrar isso de forma explícita). Aplicando \Phi(a,\theta)=\text{const} à forma geral: \Phi(a,\theta)=\left(A a + \frac{B}{a^{2}}\right)\cos\theta.Para essa expressão ser independente de \theta (ou seja, igual a uma constante para todo \theta), a multiplicação por \cos\theta implica que o coeficiente paralelo a \cos\theta deve ser zero. Portanto A a + \frac{B}{a^{2}} = 0.Substituindo A=-E_{0} obtém-se -E_{0} a + \frac{B}{a^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad B = E_{0} a^{3}.
Observação didática: isso significa que a soma dos termos gera um potencial na superfície proporcional a \cos\theta com coeficiente zero; ou seja, \Phi(a,\theta)=0 para todo \theta. Portanto podemos escolher a referência de potencial tal que a superfície da esfera está em \Phi=0. Isto também implica que o condutor não ficou com carga total diferente de zero (veremos isso ao integrar a densidade de carga).

Passo 4

Escrever explicitamente o potencial fora da esfera (resposta do item (b) parcialmente) e checar.
Com os valores encontrados:
A=-E_{0},\qquad B=E_{0}a^{3},
temos, para r\ge a,
\Phi(r,\theta)= -E_{0}\left(r - \frac{a^{3}}{r^{2}}\right)\cos\theta.
Breve interpretação física: -E_{0}r\cos\theta é o potencial do campo uniforme sem esfera; o termo \displaystyle +E_{0}\frac{a^{3}}{r^{2}}\cos\theta é o potencial de um dipolo induzido pela esfera que cancela o potencial angular na superfície, garantindo que a superfície seja equipotencial.

Passo 5

Calcular o gradiente do potencial \nabla\Phi (a parte restante do item (b)).
Em coordenadas esféricas, para uma função do tipo \Phi(r,\theta)=f(r)\cos\theta,
\nabla\Phi = \hat r\,\frac{\partial\Phi}{\partial r} + \hat\theta\,\frac{1}{r}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}.
Primeiro compute as derivadas:
\frac{\partial\Phi}{\partial r} = -E_{0}\cos\theta\left(1 + 2\frac{a^{3}}{r^{3}}\right),
\frac{\partial\Phi}{\partial \theta} = -E_{0}\left(r - \frac{a^{3}}{r^{2}}\right)(-\sin\theta) = E_{0}\left(r - \frac{a^{3}}{r^{2}}\right)\sin\theta.
Logo
\nabla\Phi = -E_{0}\left(1 + 2\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\cos\theta\,\hat r + E_{0}\left(1 - \frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\sin\theta\,\hat\theta.
Observação rápida de consistência: o campo elétrico é \vec{E}=-\nabla\Phi, então teremos sinais trocados ao passar para \vec{E} (faço isso explicitamente no passo seguinte).

Passo 6

Encontrar o campo elétrico \vec{E} fora da esfera (item (c): campo fora).
Como a relação entre campo e potencial é \vec{E}=-\nabla\Phi, obtemos para r\ge a:
\vec{E}(r,\theta) = E_{0}\left(1 + 2\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\cos\theta\,\hat r - E_{0}\left(1 - \frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\sin\theta\,\hat\theta.
Esta expressão é a soma do campo uniforme \vec{E}_{0}=E_{0}\cos\theta\,\hat r - E_{0}\sin\theta\,\hat\theta (o que corresponde a -E_{0}r\cos\theta em \Phi) e do campo dipolar induzido \propto a^{3}/r^{3}. Para verificar: quando r\to\infty os termos com a^{3}/r^{3} desaparecem e \vec{E}\to\vec{E}_{0}.

Passo 7

Calcular a densidade de carga superficial \sigma no item (a).
Regra física para superfície de um condutor: a densidade de carga superficial (na face externa) é relacionada à componente normal do campo elétrico imediatamente fora da superfície pela lei de Gauss local:
\sigma = \varepsilon_{0} E_{n,\text{fora}} - \varepsilon_{0} E_{n,\text{dentro}}.
Dentro do condutor o campo é nulo: E_{n,\text{dentro}}=0. O normal externo na superfície esférica é \hat r. Portanto \sigma=\varepsilon_{0} E_{r}(r=a).
Do campo encontrado (em r=a):
E_{r}(a,\theta) = E_{0}\left(1 + 2\frac{a^{3}}{a^{3}}\right)\cos\theta = E_{0}(1+2)\cos\theta = 3E_{0}\cos\theta.
Assim
\sigma(\theta)=\varepsilon_{0} E_{r}(a,\theta)=3\varepsilon_{0}E_{0}\cos\theta.
Comentário didático: isso mostra carga positiva no polo voltado na direção do campo (onde \cos\theta>0) e carga negativa no polo oposto. A distribuição é do tipo dipolar e proporcional a \cos\theta, como era de esperar.

Passo 8

Integrar a densidade para checar a carga total (continuação do item (a) e item (d)).
A área da superfície de esfera é dA = a^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi. Então a carga total é
Q=\int_{S}\sigma\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi} 3\varepsilon_{0}E_{0}\cos\theta\; a^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Calcule a integral angular:
Q = 3\varepsilon_{0}E_{0} a^{2}\,(2\pi)\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.
Note que \cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta), e a integral de 0 a \pi de \sin(2\theta) é zero; explicitamente,
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \left.\tfrac{1}{2}\sin^{2}\theta\right|_{0}^{\pi} = \tfrac{1}{2}(0-0)=0.
Portanto
Q=0.
Interpretação: a esfera permanece neutra (carga líquida zero) — houve só separação de cargas induzidas: positivo em um lado, negativo no outro.

Passo 9

Calcular o rotacional do campo elétrico fora da esfera (item (c), rotacional).
  • Observação teórica: em eletrostática estática (cargas estacionárias), o campo elétrico pode ser escrito como \vec{E}=-\nabla\Phi em qualquer região sem singularidades; por consequência \nabla\times\vec{E}=-\nabla\times\nabla\Phi=\vec{0}. Logo, para r>a (região sem fontes volumétricas, apenas superfície com carga), o rotacional é nulo: \nabla\times\vec{E}=\vec{0}\qquad\text{para } r>a.
  • Nota sobre a superfície: estritamente falando, na própria superfície r=a existe uma descontinuidade da componente normal do campo (devido à densidade de carga superficial), então a operação de derivada clássica do rotacional como função com descontinuidade precisa ser tratada com distribuições; contudo, fora da superfície (no espaço livre), \nabla\times\vec{E}=0. Na prática da prova, a resposta esperada é que o rotacional é zero fora da esfera.

Passo 10

Resumo final e verificação rápida de consistência.
  • Potencial e campo comportam-se bem no infinito: \vec{E}\to\vec{E}_{0} quando r\to\infty.
  • Na superfície, o campo tangencial zera (verificar E_{\theta}(r=a)= -E_{0}(1-a^{3}/a^{3})\sin\theta =0), o que é consistente com a condição de condutor (sem campo tangencial na superfície).
  • A densidade \sigma(\theta)=3\varepsilon_{0}E_{0}\cos\theta integra-se para zero, confirmando que a esfera continua com carga líquida nula.

Resposta

(a) \displaystyle \sigma(\theta)=3\varepsilon_{0}E_{0}\cos\theta.
A integral sobre a superfície dá \displaystyle Q=\int\sigma\,dA=0, portanto faz sentido (a esfera permanece neutra).
(b) \displaystyle \Phi(r,\theta) = -E_{0}\left(r-\frac{a^{3}}{r^{2}}\right)\cos\theta\qquad (r\ge a).
\displaystyle \nabla\Phi = -E_{0}\left(1+2\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\cos\theta\,\hat r + E_{0}\left(1-\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\sin\theta\,\hat\theta.
(c) \displaystyle \vec{E}(r,\theta) = E_{0}\left(1+2\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\cos\theta\,\hat r - E_{0}\left(1-\frac{a^{3}}{r^{3}}\right)\sin\theta\,\hat\theta\qquad (r\ge a).
\displaystyle \nabla\times\vec{E}=\vec{0} para r>a.
(d) \displaystyle Q=\int\sigma\,dA=0.

Exercícios relacionados