Prove que a equação (10) pode ser reescrita como (11), onde V é o potencial. Encontre a equação (11) no vácuo.
\begin{aligned} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} & =\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \\ \nabla^{2} V & =-\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá duas equações e pede duas coisas:
  • Equações fornecidas (denotadas no enunciado):
    \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_{0}} e \nabla^{2}V=-\dfrac{\rho}{\epsilon_{0}}.
  • Instrução: provar que a primeira pode ser reescrita como a segunda, sabendo que V é o potencial elétrico.
  • Pergunta adicional: encontrar a forma da equação obtida quando estamos no vácuo (ou seja, quando não há carga volumétrica presente).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • \vec{E} é o campo elétrico (vetor), \rho é a densidade de carga volumétrica, \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo, e V é o potencial elétrico (escalar).

Passo 2

Por que podemos introduzir um potencial escalar V para o campo \vec{E}? Vou explicar devagarinho.
  • Definição física do potencial: a diferença de potencial entre dois pontos A e B é definida por um integral de linha do campo elétrico:
V(B)-V(A)=-\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
Isto significa que, se esse integral for independente do caminho (ou seja, o campo for conservativo), podemos definir um escalar V(\vec{r}) em todo o espaço tal que a expressão acima vale para quaisquer A,B.
  • Condição matemática para independência do caminho: o integral de linha é independente do caminho se e somente se
\vec{\nabla}\times\vec{E}=0.
No caso eletrostático (campos estáticos, sem variação temporal de campos magnéticos), vale \vec{\nabla}\times\vec{E}=0 (esta é uma das equações de Maxwell no regime estático). Portanto podemos escrever \vec{E} como gradiente de um potencial escalar.

Passo 3

Mostrar a relação local entre \vec{E} e V.
  • Começo da definição infinitesimal: escolha um ponto \vec{r} e um deslocamento infinitesimal d\vec{r}. Pela definição de potencial por integral de linha,
V(\vec{r}+d\vec{r})-V(\vec{r})=-\int_{\vec{r}}^{\vec{r}+d\vec{r}}\vec{E}\cdot d\vec{\ell}\approx -\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{r},
onde usei que o caminho é pequeno e \vec{E} pode ser aproximado por seu valor em \vec{r}.
  • Por outro lado, pela definição do gradiente de uma função escalar,
V(\vec{r}+d\vec{r})-V(\vec{r})=\vec{\nabla}V(\vec{r})\cdot d\vec{r}+o(|d\vec{r}|).
  • Igualando as duas expressões (desconsiderando termos de ordem superior), obtemos a relação local
\vec{\nabla}V(\vec{r})\cdot d\vec{r}=-\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{r}
para todo d\vec{r}, o que implica, por arbitrariedade de d\vec{r},
\vec{\nabla}V(\vec{r})=-\vec{E}(\vec{r}).
Portanto, em notação usual:
\vec{E}=-\vec{\nabla}V.

Passo 4

Aplicar a relação \vec{E}=-\vec{\nabla}V na equação dada \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_{0}}.
  • Substituição direta:
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\vec{\nabla}\cdot\bigl(-\vec{\nabla}V\bigr)=-\vec{\nabla}\cdot\bigl(\vec{\nabla}V\bigr).

Passo 5

Explicar a operação \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}V) e introduzir o Laplaciano.
  • Definição do Laplaciano: o operador Laplaciano aplicado a um escalar V é definido como a divergência do gradiente de V:
\nabla^{2}V\equiv\vec{\nabla}\cdot\bigl(\vec{\nabla}V\bigr).
  • Em coordenadas cartesianas, se V=V(x,y,z),
\nabla^{2}V=\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}.
Isto é só para ter uma imagem concreta do que o Laplaciano faz: soma das segundas derivadas.

Passo 6

Combinar os passos anteriores para obter a forma final (a reescrita pedida).
  • A partir de Passo 4 e da definição do Laplaciano no Passo 5:
\vec{\nabla}\cdot\vec{E}=-\vec{\nabla}\cdot\bigl(\vec{\nabla}V\bigr)=-\nabla^{2}V.
  • Como sabemos pela equação dada que \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_{0}}, igualando as duas expressões temos
-\nabla^{2}V=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}.
  • Multiplicando ambos os lados por -1 obtemos a equação de Poisson para o potencial:
\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}.
Isto prova que a equação (10) pode ser reescrita como (11).

Passo 7

Encontrar a equação no vácuo.
  • No vácuo, por definição, não há carga volumétrica, então \rho=0. Substituindo \rho=0 na equação de Poisson resulta na equação de Laplace:
\nabla^{2}V=0.
  • Comentário rápido e útil para prova: a equação \nabla^{2}V=0 vale em regiões sem carga. Atenção: se houver cargas pontuais no domínio, elas aparecem como termos delta de Dirac na equação (ou seja, a equação homogênea \nabla^{2}V=0 vale apenas nas regiões onde \rho=0, excluindo as posições das cargas pontuais).

Resposta

\nabla^{2}V=-\dfrac{\rho}{\epsilon_{0}}\n
\nabla^{2}V=0

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