Prove que a equação (10) pode ser reescrita como (11), onde
é o potencial. Encontre a equação (11) no vácuo.
Passo 1
O enunciado dá duas equações e pede duas coisas:
- Equações fornecidas (denotadas no enunciado):
e . - Instrução: provar que a primeira pode ser reescrita como a segunda, sabendo que
é o potencial elétrico. - Pergunta adicional: encontrar a forma da equação obtida quando estamos no vácuo (ou seja, quando não há carga volumétrica presente).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
-
é o campo elétrico (vetor), é a densidade de carga volumétrica, é a permissividade do vácuo, e é o potencial elétrico (escalar).
Passo 2
Por que podemos introduzir um potencial escalar
para o campo
? Vou explicar devagarinho.
- Definição física do potencial: a diferença de potencial entre dois pontos
e é definida por um integral de linha do campo elétrico:
Isto significa que, se esse integral for independente do caminho (ou seja, o campo for conservativo), podemos definir um escalar
em todo o espaço tal que a expressão acima vale para quaisquer
.
- Condição matemática para independência do caminho: o integral de linha é independente do caminho se e somente se
No caso eletrostático (campos estáticos, sem variação temporal de campos magnéticos), vale
(esta é uma das equações de Maxwell no regime estático). Portanto podemos escrever
como gradiente de um potencial escalar.
Passo 3
Mostrar a relação local entre
e
.
- Começo da definição infinitesimal: escolha um ponto
e um deslocamento infinitesimal . Pela definição de potencial por integral de linha,
onde usei que o caminho é pequeno e
pode ser aproximado por seu valor em
.
- Por outro lado, pela definição do gradiente de uma função escalar,
- Igualando as duas expressões (desconsiderando termos de ordem superior), obtemos a relação local
para todo
, o que implica, por arbitrariedade de
,
Portanto, em notação usual:
Passo 4
Aplicar a relação
na equação dada
.
- Substituição direta:
Passo 5
Explicar a operação
e introduzir o Laplaciano.
- Definição do Laplaciano: o operador Laplaciano aplicado a um escalar
é definido como a divergência do gradiente de :
- Em coordenadas cartesianas, se
,
Isto é só para ter uma imagem concreta do que o Laplaciano faz: soma das segundas derivadas.
Passo 6
Combinar os passos anteriores para obter a forma final (a reescrita pedida).
- A partir de Passo 4 e da definição do Laplaciano no Passo 5:
- Como sabemos pela equação dada que
, igualando as duas expressões temos
- Multiplicando ambos os lados por
obtemos a equação de Poisson para o potencial:
Isto prova que a equação (10) pode ser reescrita como (11).
Passo 7
Encontrar a equação no vácuo.
- No vácuo, por definição, não há carga volumétrica, então
. Substituindo na equação de Poisson resulta na equação de Laplace:
- Comentário rápido e útil para prova: a equação
vale em regiões sem carga. Atenção: se houver cargas pontuais no domínio, elas aparecem como termos delta de Dirac na equação (ou seja, a equação homogênea vale apenas nas regiões onde , excluindo as posições das cargas pontuais).