Considere uma esfera condutora de raio a. A esfera está aterrada e, a uma distância r>a, é colocada uma carga pontual q.
(a) Encontre a densidade de cargas sobre a superfície da esfera e em seguida integtre-a. O resultado faz sentido?
(b) Encontre o potencial fora da esfera e seu gradiente.
(c) Encontre o campo fora da esfera e seu divergente.
(d) Encontre a carga líquida sobre a esfera.

Passo 1

O enunciado dá claramente as seguintes informações e pede várias coisas.
  • Dados do problema:
    • Uma esfera condutora de raio a está aterrada (potencial da superfície igual a zero).
    • Uma carga pontual q está colocada fora da esfera, a uma distância r do centro da esfera, com r>a.
    • Pode-se considerar a carga q colocada no eixo z em z=r para simplificar a simetria (isso não perde generalidade por rotação).
  • O que é pedido:
    (a) Encontrar a densidade de carga sobre a superfície da esfera, \sigma(\theta), e integrar \sigma sobre a superfície para obter a carga total induzida. Verificar se o resultado faz sentido.
    (b) Encontrar o potencial elétrico fora da esfera e seu gradiente.
    (c) Encontrar o campo elétrico fora da esfera e o divergente desse campo (em particular na região externa à superfície).
    (d) Encontrar a carga líquida sobre a esfera (a carga total induzida).

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática curta): a condição “esfera condutora aterrada” significa que o potencial na superfície é 0. Uma técnica eficiente para problemas com condutores esféricos é o método das imagens: substitui-se o condutor por cargas fictícias (imagem) colocadas no interior de forma que o potencial causado pelas cargas reais mais as imagens seja zero sobre a superfície esférica. Essa solução é exata para a esfera e muito usada em provas porque reduz o problema a somas de potenciais de cargas pontuais.
Aplicando o método das imagens (colocando q no eixo z em z=r):
  • Supõe-se uma carga imagem q' colocada no eixo z em z=r' (com r'<a) tal que o potencial total na superfície R=a é zero para todo \theta.
  • Exigindo V(a,\theta)=0 para todo \theta leva às soluções clássicas (esse é um resultado padrão; aqui mostro a forma e justifico a escolha): \text{Escolha:}\qquad q'=-\dfrac{a}{r}\,q,\qquad r'=\dfrac{a^{2}}{r}.
Vou justificar a origem qualitativa: para que a soma das funções 1/|\mathbf{R}-\mathbf{r}_q| e 1/|\mathbf{R}-\mathbf{r}'| se anule sobre R=a para todo \theta é necessário que a dependência angular combine de forma precisa; as relações acima são as que fazem isso (são obtidas impondo q/|{\bf R}-{\bf r}_q|+q'/|{\bf R}-{\bf r}'|=0 para R=a e todas \theta). Essas relações são as fórmulas padrão do método das imagens para esfera aterrada.
Portanto, o potencial fora da esfera (região R\ge a) será o mesmo que o potencial gerado por duas cargas pontuais: q em z=r (real) e q'=-\dfrac{a}{r}q em z=r'=\dfrac{a^2}{r} (imagem).

Passo 3

Escrever explicitamente o potencial fora da esfera e seu gradiente (a parte (b) em detalhe e preparação para (c)).
  • Para um ponto genérico \mathbf{R} (com coordenadas esféricas (R,\theta,\varphi) e com o eixo z definido pela posição da carga q), o potencial fora da esfera é a soma dos potenciais das duas cargas pontuais:
V(\mathbf{R})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{q}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta}}+\dfrac{q'}{\sqrt{R^{2}+{r'}^{2}-2Rr'\cos\theta}}\right),
com q'=-\dfrac{a}{r}q e r'=\dfrac{a^{2}}{r}. Essa expressão vale para R\ge a (região externa).
  • Gradiente do potencial (vamos escrever a forma vetorial do campo, que é \mathbf{E}=-\nabla V e que fornece também o gradiente):
    Usando a identidade \nabla_{\mathbf{R}}\dfrac{1}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}_0|}=-\dfrac{\mathbf{R}-\mathbf{r}_0}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}_0|^{3}}, obtemos diretamente
\boxed{\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{R})=-\nabla V(\mathbf{R}) =\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[q\,\dfrac{\mathbf{R}-\mathbf{r}_q}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}_q|^{3}} +q'\,\dfrac{\mathbf{R}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}'|^{3}}\right],\qquad R\ge a,}
onde \mathbf{r}_q=(0,0,r) e \mathbf{r}'=(0,0,r'). Essa é a expressão do gradiente (em forma vetorial) e, se for preciso, pode-se expandir seus componentes em coordenadas esféricas.
Observação interpretativa: a expressão acima é só a soma dos campos das duas cargas pontuais; isso é esperado por linearidade. A presença da carga imagem interior ajusta as condições de contorno (potencial zero na superfície).

Passo 4

Encontrar explicitamente a densidade de carga na superfície e simplificar (parte (a)).
  • Relação entre densidade superficial e potencial: para um condutor perfeito a densidade superficial de carga na superfície vale
\sigma(\theta)=-\varepsilon_0\left.\dfrac{\partial V}{\partial n}\right|_{R=a}
onde \partial/\partial n é a derivada na direção normal externa. Para a superfície esférica a normal externa é a derivada radial por fora, então usamos \partial/\partial n=\partial/\partial R avaliada em R=a pela região externa.
  • Calcular \partial V/\partial R. Para um termo do tipo 1/\sqrt{R^{2}+s^{2}-2Rs\cos\theta} tem-se
\frac{\partial}{\partial R}\left(\dfrac{1}{\sqrt{R^{2}+s^{2}-2Rs\cos\theta}}\right) =-\dfrac{R-s\cos\theta}{\left(R^{2}+s^{2}-2Rs\cos\theta\right)^{3/2}}.
Aplicando isso aos dois termos (com s=r e s=r') e depois multiplicando por -\varepsilon_0, obtemos
\sigma(\theta)=-\varepsilon_0\cdot\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\Bigg[ -q\cdot\dfrac{a-r\cos\theta}{\big(a^{2}+r^{2}-2ar\cos\theta\big)^{3/2}} -q'\cdot\dfrac{a-r'\cos\theta}{\big(a^{2}+{r'}^{2}-2ar'\cos\theta\big)^{3/2}} \Bigg].
Note que os sinais vêm do cálculo do gradiente; reorganizando e simplificando (cancelando \varepsilon_0) e substituindo q'=-\dfrac{a}{r}q e r'=\dfrac{a^{2}}{r}, e usando a identidade geométrica
\sqrt{a^{2}+{r'}^{2}-2ar'\cos\theta}=\dfrac{a}{r}\sqrt{a^{2}+r^{2}-2ar\cos\theta},
faz-se a simplificação algébrica (estas manipulações são rotineiras; mostro o resultado já simplificado):
\boxed{\displaystyle \sigma(\theta)=-\dfrac{q}{4\pi a}\,\dfrac{r^{2}-a^{2}}{\big(r^{2}+a^{2}-2ar\cos\theta\big)^{3/2}}.}
Essa é a densidade superficial de carga induzida na esfera, como função do ângulo \theta entre o ponto da superfície e a direção da carga q.
  • Checagem rápida de sinais e limites intuitivos:
    • Note que r^{2}-a^{2}>0 (pois r>a), e o sinal global é negativo, então \sigma(\theta) é negativo em geral: a esfera recebe carga negativa próxima à carga positiva q, isso faz sentido físico (linhas de campo terminam na superfície).
    • Se r\to\infty então \sigma\to 0 (esfera muito longe não é influenciada).
    • Se r\downarrow a (carga muito próxima da superfície), a densidade tende a se concentrar e o negativo total tende a -q (veremos a integral).

Passo 5

Integrar a densidade para obter a carga total induzida sobre a esfera (continuação da (a)). Fazer a integral passo a passo.
  • Expressão da carga total:
Q_{\text{esfera}}=\int_{\text{superf}} \sigma\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi}\sigma(\theta)\,a^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi.
Substituindo \sigma(\theta):
Q_{\text{esfera}}=2\pi a^{2}\left(-\dfrac{q}{4\pi a}\right)(r^{2}-a^{2})\int_{0}^{\pi}\dfrac{\sin\theta\,d\theta}{\big(r^{2}+a^{2}-2ar\cos\theta\big)^{3/2}}.
  • Calcular a integral angular. Faça a mudança u=\cos\theta, então du=-\sin\theta\,d\theta e os limites \theta=0\to u=1,\\ \theta=\pi\to u=-1:
I=\int_{0}^{\pi}\dfrac{\sin\theta\,d\theta}{\big(r^{2}+a^{2}-2ar\cos\theta\big)^{3/2}} =\int_{-1}^{1}\dfrac{du}{\big(r^{2}+a^{2}-2aru\big)^{3/2}}.
A integral é do tipo \int (A-Bu)^{-3/2}du com A=r^{2}+a^{2} e B=2ar. A primitiva é \dfrac{2}{B}(A-Bu)^{-1/2}. Assim
I=\left.\dfrac{1}{ar}\,(r^{2}+a^{2}-2aru)^{-1/2}\right|_{u=-1}^{u=1} =\dfrac{1}{ar}\left(\dfrac{1}{r-a}-\dfrac{1}{r+a}\right).
Simplificando:
I=\dfrac{1}{ar}\cdot\dfrac{2a}{r^{2}-a^{2}}=\dfrac{2}{r(r^{2}-a^{2})}.
  • Agora voltar para Q_{\text{esfera}}:
Q_{\text{esfera}}=2\pi a^{2}\left(-\dfrac{q}{4\pi a}\right)(r^{2}-a^{2})\cdot\dfrac{2}{r(r^{2}-a^{2})}.
Os fatores (r^{2}-a^{2}) cancelam, e resta
Q_{\text{esfera}}=-q\,\dfrac{a}{r}.
Nota: esse resultado coincide com a carga imagem q' que colocamos no interior, ou seja Q_{\text{esfera}}=q'. Isso é consistente: a carga imagem é a carga total induzida sobre a superfície (o método das imagens garante isso).
  • Interpretação física e verificação de consistência:
    • Se r\to\infty, Q_{\text{esfera}}\to 0 (correto).
    • Se r\downarrow a (carga próxima da superfície), Q_{\text{esfera}}\to -q (a esfera absorve praticamente toda a carga oposta).
    • O sinal negativo mostra que a esfera ganha carga oposta à carga externa q. Como a esfera está aterrada, ela pode trocar carga com o solo, então o total induzido não precisa somar zero com o externo (ao contrário de um condutor isolado e neutro). Portanto o resultado faz sentido.

Passo 6

Campo elétrico fora da esfera e seu divergente (parte (c)).
  • Já escrevemos o campo na forma vetorial no Passo 3:
\boxed{\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{R})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[q\,\dfrac{\mathbf{R}-\mathbf{r}_q}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}_q|^{3}} +q'\,\dfrac{\mathbf{R}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}'|^{3}}\right],\qquad R\ge a.}
  • Divergente do campo:
    • Em termos de funções regulares (fora das posições das cargas pontuais), a lei de Gauss local diz \nabla\cdot\mathbf{E}=0 em qualquer ponto onde não haja carga volumétrica. Assim, para todo ponto do espaço com R>a e \mathbf{R}\neq\mathbf{r}_q (ou seja, fora da esfera e não no local exato da carga q), tem-se
    \boxed{\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{R})=0\quad\text{para }R>a,\\ \mathbf{R}\neq\mathbf{r}_q.}
    • Em sentido de distribuições (incluindo as singularidades nas posições das cargas), o divergente é
    \nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{R})=\dfrac{q}{\varepsilon_0}\,\delta(\mathbf{R}-\mathbf{r}_q) +\dfrac{q'}{\varepsilon_0}\,\delta(\mathbf{R}-\mathbf{r}').Porém, note que \mathbf{r}' está no interior da esfera ( r'<a ), então na região externa à superfície só aparece a contribuição delta de q (se o ponto de interesse coincidir com \mathbf{r}_q). Em resumo: fora da esfera (e afastado da carga pontual) o divergente é zero; como distribuição, o divergente contém deltas nas posições das cargas reais e de imagem.

Passo 7

Conclusão e resposta final compacta (parte (d) já obtida na integração).
  • Resumo intuitivo:
    • A densidade \sigma(\theta) está concentrada no lado mais próximo de q, é negativa (para q>0), e sua integral dá a carga líquida induzida -q a/r.
    • O potencial e o campo fora do condutor são dados pela soma dos efeitos da carga real q e da carga imagem q'=-\dfrac{a}{r}q colocada em r'=\dfrac{a^{2}}{r}.
    • O divergente do campo é zero na região externa exceto na posição da carga pontual (e, em sentido de distribuição, inclui também o delta da imagem no interior).

Resposta

(a) \displaystyle \sigma(\theta)=-\dfrac{q}{4\pi a}\,\dfrac{r^{2}-a^{2}}{\big(r^{2}+a^{2}-2ar\cos\theta\big)^{3/2}} e \displaystyle \int_{\text{superf}}\sigma\,dA= -\,\dfrac{q a}{r}.
(b) \displaystyle V(\mathbf{R})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\!\left(\dfrac{q}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos\theta}}+\dfrac{q'}{\sqrt{R^{2}+{r'}^{2}-2Rr'\cos\theta}}\right), com q'=-\dfrac{a}{r}q,\\ r'=\dfrac{a^{2}}{r}. O gradiente (campo) é dado por \displaystyle -\nabla V(\mathbf{R})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\!\left[q\,\dfrac{\mathbf{R}-\mathbf{r}_q}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}_q|^{3}}+q'\,\dfrac{\mathbf{R}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}'|^{3}}\right].
(c) \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{R})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\!\left[q\,\dfrac{\mathbf{R}-\mathbf{r}_q}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}_q|^{3}}+q'\,\dfrac{\mathbf{R}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}'|^{3}}\right] para R\ge a. O divergente é \nabla\cdot\mathbf{E}=0 em todos os pontos com R>a e \mathbf{R}\neq\mathbf{r}_q. Em sentido de distribuições, \displaystyle \nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{q}{\varepsilon_0}\delta(\mathbf{R}-\mathbf{r}_q)+\dfrac{q'}{\varepsilon_0}\delta(\mathbf{R}-\mathbf{r}').
(d) Carga líquida sobre a esfera: \displaystyle Q_{\text{esfera}}=-\,\dfrac{q a}{r}.

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