Considere uma esfera condutora de raio R e carga Q. Para esta esfera, calcule:
Considere agora uma esfera maciça, de raio R e carga Q. Calcule:
a) a densidade de energia (u) do campo elétrico para as regiões r<R e r>R.
b) a energia total armazenada no campo elétrico.

Passo 1

O enunciado pede para uma esfera maciça (uniformemente carregada), de raio R e carga total Q, determinarmos
  1. a densidade de energia do campo elétrico ,u(r), nas regiões r<R e r>R, e
  2. a energia total ,U armazenada nesse campo.
    Vamos usar a lei de Gauss para obter o campo elétrico e em seguida a expressão da densidade de energia
u(r)=varepsilon02,E(r)^2

Passo 2

Pela lei de Gauss, tomando superfície esférica de raio r:
Para r<R, a carga encerrada é proporcional ao volume gerado até r, isto é
Qint(r)=Q,tfrac4pi r^33tfrac4pi R^33 =Q,r^3R^3,
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E(r)=14pivarepsilon0;Qint(r)r^2 =14pivarepsilon0;Q,r^3/R^3r^2 =Q,r4pivarepsilon0,R^3
Para r>R, toda a carga Q está dentro da superfície, então
E(r)=14pivarepsilon0;Qr^2

Passo 3

Usando
u(r)=varepsilon02,E(r)^2,
temos para r<R:
u(r)=varepsilon02(Q,r4pivarepsilon0,R^3)^2 =Q^232pi^2,varepsilon0,R^6;r^2,
e para r>R:
u(r)=varepsilon02(Q4pivarepsilon0,r^2)^2 =Q^232pi^2,varepsilon0;1r^4

Passo 4

A energia total é dada por
U=integral0^inftyu(r),dV =integral0^Ru(r),4pi r^2,dr +integralR^inftyu(r),4pi r^2,dr

Passo 5

Substituindo u(r) nos dois trechos:
Para 0<= r<= R:
Uint =integral0^RQ^232pi^2varepsilon0R^6,r^2;4pi r^2,dr =Q^28pivarepsilon0R^6 integral0^Rr^4,dr =Q^28pivarepsilon0R^6;R^55 =Q^240pivarepsilon0R
Para r>= R:
Uext =integralR^inftyQ^232pi^2varepsilon0;1r^4;4pi r^2,dr =Q^28pivarepsilon0 integralR^infty1r^2,dr =Q^28pivarepsilon0;1R
Somando
U=Uint+Uext =Q^240pivarepsilon0R +Q^28pivarepsilon0R =Q^240pivarepsilon0Rl(1+5r) =3,Q^220pivarepsilon0R

Resposta

a) Para r<R:
u(r)=Q^232pi^2varepsilon0R^6;r^2,
para r>R:
u(r)=Q^232pi^2varepsilon0;1r^4
b)
U=3,Q^220pivarepsilon0R

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