Considere os seguintes vetores 1 D: A=(3+4 x) x, B=(-2+3 x) y.
Construa todos os 4 possíveis vetores C em 2 dimensões.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores unidimensionais,
vec A=(3+4x),hat x e vec B=(-2+3x),hat y,
e pede para construir todos os vetores vec C em duas dimensões.
Aqui o conteúdo é a representação de um vetor em R^2 pelas suas componentes em hat x e hat y.

Passo 2

Em duas dimensões qualquer vetor pode ser escrito como
vec C = Cx,hat x + Cy,hat y,
onde Cx é a componente em x e Cy é a componente em y.

Passo 3

As componentes Cx e Cy terão magnitude dada por vec A e vec B, mas cada uma pode apontar no sentido positivo ou negativo das bases. Logo definimos sinais s,tin+1,-1 tais que
Cx = s,(3+4x), Cy = t,(-2+3x)

Passo 4

Em forma geral,
vec Cs,t = s,(3+4x),hat x ;+; t,(-2+3x),hat y,
com s,tin+1,-1. Como existem duas escolhas independentes de sinal, obtemos 2^2=4 vetores.

Passo 5

Agora pegamos todas as combinações de (s,t):
Para s=+1,;t=+1
vec C+,+ = (3+4x),hat x + (-2+3x),hat y
Para s=+1,;t=-1
vec C+,- = (3+4x),hat x -(-2+3x),hat y = (3+4x),hat x + (2-3x),hat y
Para s=-1,;t=+1
vec C-,+ = -(3+4x),hat x + (-2+3x),hat y = (-3-4x),hat x + (-2+3x),hat y
Para s=-1,;t=-1
vec C-,- = -(3+4x),hat x -(-2+3x),hat y = (-3-4x),hat x + (2-3x),hat y

Resposta

vec C+,+ = (3+4x),hat x + (-2+3x),hat y
vec C+,- = (3+4x),hat x + (2-3x),hat y
vec C-,+ = (-3-4x),hat x + (-2+3x),hat y
vec C-,- = (-3-4x),hat x + (2-3x),hat y

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