Seja uma esfera de raio R carregada com densidade volumétrica de carga rho(r)= k r em que k é uma constante.
Tome o divergente deste campo na região de (r e verifique com a lei de Gauss diferencial que coincide com a densidade de cargas dada no enunciado a menos de uma constante.
Reflita conceitualmente sobre o que você espera do resultado do divergente do campo fora da esfera e como isso se relaciona com a física e as simetrias do problema.

Passo 1

Então, o exercício diz o seguinte: temos uma esfera de raio R com densidade volumétrica de carga ρ®=k r (k é constante). A gente precisa calcular o divergente do campo elétrico dentro da esfera (para r<R), ver que ∇·E bate com ρ®/ε₀ (a Lei de Gauss na forma diferencial) e, depois, refletir o que esperamos do divergente de E fora da bola, relacionando isso com a física e as simetrias esféricas.
Conteúdo: eletrostática básica, Lei de Gauss diferencial (∇·E=ρ/ε₀) e cálculo de divergente em coordenadas esféricas. Vamos precisar de:
  • Lei de Gauss integral para achar E®
  • Fórmula do divergente em coordenadas esféricas radiais:
nablacdotE ;=;1r^2ddrl(r^2,Er(r)r)

Passo 2

Primeiro, achamos o campo E® para r<R usando a Lei de Gauss integral. Como o problema é esfericamente simétrico, o campo é radial e só depende de r.
  1. Carga envolvida até r:
Qrm int(r)=integral0^r rho(r'),4pi r'^2,dr' =integral0^r k,r',4pi r'^2,dr' =4pi kintegral0^r r'^3,dr' =;4pi k;r^44 =pi k,r^4
  1. Pela Lei de Gauss integral:
ointEcdot dA= Qrm int(r)varepsilon0 Longrightarrow E(r);4pi r^2 ;=;pi k,r^4varepsilon0
Logo,
Er(r)=pi k,r^44pivarepsilon0,r^2 =k,r^24,varepsilon0

Passo 3

Agora, aplicamos o divergente em coordenadas esféricas (campo puramente radial):
nablacdotE =1r^2ddrl(r^2,Er(r)r) =1r^2ddr!l(r^2cdotk,r^24varepsilon0r) =1r^2ddr!l(k,r^44varepsilon0r)
Derivando:
ddrl(tfrack,r^44varepsilon0r) =k4varepsilon0,4r^3 =k,r^3varepsilon0
Então
nablacdotE =1r^2;k,r^3varepsilon0 =k,rvarepsilon0

Passo 4

Compare com a densidade de carga dada dividida por ε₀:
rho(r)varepsilon0 =k,rvarepsilon0
É exatamente o que encontramos para ∇·E. Isso confirma a Lei de Gauss diferencial:
nablacdotE=rhovarepsilon0

Passo 5

Conceitualmente, fora da esfera (r>R) não há carga no vácuo, então a gente espera que ∇·E=0 nessa região. Fisicamente, isso faz sentido: não tem “fonte” nem “sumidouro” de campo onde não há carga. A simetria esférica garante ainda que E® cai como 1/r², e sabemos que o divergente de um campo ∝1/r² radial é zero em todo ponto exceto na origem ou onde há carga.

Resposta

Dentro da esfera (r<R)
nablacdotE=k,rvarepsilon0=rho(r)varepsilon0
Fora da esfera (r>R)
nablacdotE=0,
como esperado por não existir densidade de carga lá e pela simetria esférica.

Exercícios relacionados