Seja uma esfera de raio R carregada com densidade volumétrica de carga
em que
é uma constante.
Tome o divergente deste campo na região de
e verifique com a lei de Gauss diferencial que coincide com a densidade de cargas dada no enunciado a menos de uma constante.
Reflita conceitualmente sobre o que você espera do resultado do divergente do campo fora da esfera e como isso se relaciona com a física e as simetrias do problema.
Tome o divergente deste campo na região de
Reflita conceitualmente sobre o que você espera do resultado do divergente do campo fora da esfera e como isso se relaciona com a física e as simetrias do problema.
Passo 1
Então, o exercício diz o seguinte: temos uma esfera de raio R com densidade volumétrica de carga ρ®=k r (k é constante). A gente precisa calcular o divergente do campo elétrico dentro da esfera (para r<R), ver que ∇·E bate com ρ®/ε₀ (a Lei de Gauss na forma diferencial) e, depois, refletir o que esperamos do divergente de E fora da bola, relacionando isso com a física e as simetrias esféricas.
Conteúdo: eletrostática básica, Lei de Gauss diferencial (∇·E=ρ/ε₀) e cálculo de divergente em coordenadas esféricas. Vamos precisar de:
Conteúdo: eletrostática básica, Lei de Gauss diferencial (∇·E=ρ/ε₀) e cálculo de divergente em coordenadas esféricas. Vamos precisar de:
- Lei de Gauss integral para achar E®
- Fórmula do divergente em coordenadas esféricas radiais:
Passo 2
Primeiro, achamos o campo E® para r<R usando a Lei de Gauss integral. Como o problema é esfericamente simétrico, o campo é radial e só depende de r.
- Carga envolvida até r:
- Pela Lei de Gauss integral:
Logo,
Passo 3
Agora, aplicamos o divergente em coordenadas esféricas (campo puramente radial):
Derivando:
Então
Passo 4
Compare com a densidade de carga dada dividida por ε₀:
É exatamente o que encontramos para ∇·E. Isso confirma a Lei de Gauss diferencial:
Passo 5
Conceitualmente, fora da esfera (r>R) não há carga no vácuo, então a gente espera que ∇·E=0 nessa região. Fisicamente, isso faz sentido: não tem “fonte” nem “sumidouro” de campo onde não há carga. A simetria esférica garante ainda que E® cai como 1/r², e sabemos que o divergente de um campo ∝1/r² radial é zero em todo ponto exceto na origem ou onde há carga.
Resposta
Dentro da esfera (r<R)
Fora da esfera (r>R)
como esperado por não existir densidade de carga lá e pela simetria esférica.