Considere uma esfera isolante de raio
com um buraco concêntrico de raio
carregado com una densidade volumétrica uniforme
Qual é a carga total armazenada do sistema?
Qual é a carga total armazenada do sistema?
Passo 1
Beleza, temos aqui uma esfera de raio
feita de material isolante, mas com um “buraco” esférico concêntrico de raio
. A densidade de carga volumétrica do material é uniforme e vale
.
Conteúdo: elétrica – carga volumétrica e integração (ou, de forma mais simples, uso de fórmulas de volume).
O que vai rolar: para achar a carga total, a gente vai usar que a carga é densidade vezes volume do material carregado, e como tem um buraco, subtrair o volume da cavidade.
Conteúdo: elétrica – carga volumétrica e integração (ou, de forma mais simples, uso de fórmulas de volume).
O que vai rolar: para achar a carga total, a gente vai usar que a carga é densidade vezes volume do material carregado, e como tem um buraco, subtrair o volume da cavidade.
Passo 2
Primeiro, lembra que densidade volumétrica
significa que, em cada pedacinho de volume
, a carga é
. Então a carga total do material carregado é
Mas como
é constante, isso vira
isto é, o volume da esfera de raio
menos o volume do buraco de raio
.
Passo 3
A gente sabe da geometria que o volume de uma esfera de raio
é
Então:
- Volume total da esfera maior:
. - Volume do buraco:
.
Logo, o volume de material carregado é
Multiplicando pela densidade
, vem a carga total.