Considere uma esfera isolante de raio b com um buraco concêntrico de raio a carregado com una densidade volumétrica uniforme rho
Qual é a carga total armazenada do sistema?

Passo 1

Beleza, temos aqui uma esfera de raio feita de material isolante, mas com um “buraco” esférico concêntrico de raio . A densidade de carga volumétrica do material é uniforme e vale .
Conteúdo: elétrica – carga volumétrica e integração (ou, de forma mais simples, uso de fórmulas de volume).
O que vai rolar: para achar a carga total, a gente vai usar que a carga é densidade vezes volume do material carregado, e como tem um buraco, subtrair o volume da cavidade.

Passo 2

Primeiro, lembra que densidade volumétrica Q = integral rho,dV significa que, em cada pedacinho de volume Q = rho integral dV = rho times (volume útil), , a carga é . Então a carga total do material carregado é
Mas como é constante, isso vira
ú
isto é, o volume da esfera de raio menos o volume do buraco de raio .

Passo 3

A gente sabe da geometria que o volume de uma esfera de raio Vesfera = 43pi r^3 é
V = 43pi b^3 ;-;43pi a^3 =43pil(b^3 - a^3r)
Então:
  • Volume total da esfera maior: .
  • Volume do buraco: .
    Logo, o volume de material carregado é
Multiplicando pela densidade , vem a carga total.

Resposta

boxedQ = rho ; 43,pil(b^3 - a^3r)

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