Considere uma esfera isolante com uma região concêntrica oca e densidade de carga volumétrica
, onde A é constante, na região
.
3) Calcule o campo elétrico
® gerado por uma esfera de raio R com densidade de carga volumétrica
, onde A é constante, para
e para
. Calcule o potencial
no exterior e no interior da esfera. O potencial infinito deve ser nulo. Obs:
( 3,0 pontos)
3) Calcule o campo elétrico
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico e potencial em uma esfera com densidade de carga que depende da distância ao centro. O conteúdo envolve eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e o cálculo de potenciais elétricos. Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
tanto para
quanto para
, e depois integrar para achar o potencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico
. Para isso, usamos a Lei de Gauss, que diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo,
.
Passo 3
Como a densidade de carga é
, a carga dentro de uma esfera de raio
é:
Passo 4
Integrando, temos:
Passo 5
Agora, aplicando a Lei de Gauss, para
:
Como a esfera tem raio
, a carga total é
. A superfície gaussiana é uma esfera de raio
, então:
Passo 6
Para
, a carga dentro da superfície gaussiana é
. Assim:
Passo 7
Agora, vamos calcular o potencial elétrico
. Sabemos que
. O potencial é dado pela integração do campo elétrico:
Passo 8
Para
, usamos
:
Passo 9
Para
, o potencial é a soma do potencial devido à carga interna e à carga externa. Calculamos:
Integrando:
Resposta
O campo elétrico
e o potencial
são dados por:
Para
:
Para
: