Considere uma esfera isolante com uma região concêntrica oca e densidade de carga volumétrica rho(r)=A r, onde A é constante, na região a.
3) Calcule o campo elétrico E sim ® gerado por uma esfera de raio R com densidade de carga volumétrica rho(r)=A r 2, onde A é constante, para r>R e para r. Calcule o potencial V(r) no exterior e no interior da esfera. O potencial infinito deve ser nulo. Obs: dV=4 pi r 2 dr ( 3,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico e potencial em uma esfera com densidade de carga que depende da distância ao centro. O conteúdo envolve eletrostática, especificamente a Lei de Gauss e o cálculo de potenciais elétricos. Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico E(r) tanto para r > R quanto para r < R, e depois integrar para achar o potencial V(r).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o campo elétrico E(r). Para isso, usamos a Lei de Gauss, que diz que a integral do campo elétrico sobre uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo, varepsilon0.

Passo 3

Como a densidade de carga é rho(r) = A r^2, a carga dentro de uma esfera de raio r é:
Qdentro = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 , dr' = integral0^r A r'^2 cdot 4pi r'^2 , dr' = 4pi A integral0^r r'^4 , dr'

Passo 4

Integrando, temos:
Qdentro = 4pi A [ r'^55 ]0^r = 4pi A r^55

Passo 5

Agora, aplicando a Lei de Gauss, para r > R:
oint E cdot dA = Qtotalvarepsilon0
Como a esfera tem raio R, a carga total é Qtotal = 4pi A R^55. A superfície gaussiana é uma esfera de raio r, então:
E(r) cdot 4pi r^2 = 4pi A R^55 varepsilon0
E(r) = A R^55 varepsilon0 r^2

Passo 6

Para r < R, a carga dentro da superfície gaussiana é Qdentro = 4pi A r^55. Assim:
E(r) cdot 4pi r^2 = 4pi A r^55 varepsilon0
E(r) = A r^35 varepsilon0

Passo 7

Agora, vamos calcular o potencial elétrico V(r). Sabemos que V(infty) = 0. O potencial é dado pela integração do campo elétrico:
V(r) = -integralr^infty E(r') , dr'

Passo 8

Para r > R, usamos E(r') = A R^55 varepsilon0 r'^2:
V(r) = -integralr^infty A R^55 varepsilon0 r'^2 , dr' = A R^55 varepsilon0 r

Passo 9

Para r < R, o potencial é a soma do potencial devido à carga interna e à carga externa. Calculamos:
V(r) = -integralr^R A r'^35 varepsilon0 , dr' - integralR^infty A R^55 varepsilon0 r'^2 , dr'
Integrando:
V(r) = -[ A r'^420 varepsilon0 ]r^R - [ A R^55 varepsilon0 r' ]R^infty
V(r) = A (R^4 - r^4)20 varepsilon0 + A R^45 varepsilon0
V(r) = A R^45 varepsilon0 - A r^420 varepsilon0

Resposta

O campo elétrico E(r) e o potencial V(r) são dados por:
Para r > R:
E(r) = A R^55 varepsilon0 r^2
V(r) = A R^55 varepsilon0 r
Para r < R:
E(r) = A r^35 varepsilon0
V(r) = A R^45 varepsilon0 - A r^420 varepsilon0

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