- Considere uma esfera maciça com carga uniformemente distribuída em seu volume. Uma superfície gaussiana esférica é desenhada com raio menor que o raio da esfera carregada.
Sobre o campo elétrico nessa superfície, assinale a alternativa correta.
a) O campo elétrico tem o mesmo módulo em todos os pontos da superfície e aponta radialmente para fora.
b) O campo elétrico é tangente à superfície gaussiana, pois a carga está distribuída uniformemente.
c) O campo elétrico é nulo em todos os pontos da superfície, pois há cargas em todas as direções.
d) O campo elétrico depende apenas da carga total da esfera, mesmo para pontos internos.
e) O campo elétrico varia de ponto para ponto, pois a carga está distribuída no volume.
Sobre o campo elétrico nessa superfície, assinale a alternativa correta.
a) O campo elétrico tem o mesmo módulo em todos os pontos da superfície e aponta radialmente para fora.
b) O campo elétrico é tangente à superfície gaussiana, pois a carga está distribuída uniformemente.
c) O campo elétrico é nulo em todos os pontos da superfície, pois há cargas em todas as direções.
d) O campo elétrico depende apenas da carga total da esfera, mesmo para pontos internos.
e) O campo elétrico varia de ponto para ponto, pois a carga está distribuída no volume.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera maciça com carga uniformemente distribuída no volume e pede sobre o campo elétrico em uma superfície gaussiana esférica cujo raio
é menor que o raio da esfera carregada
. As perguntas implícitas são:
- Qual é a direção do campo elétrico sobre essa superfície gaussiana?
- O módulo do campo é o mesmo em todos os pontos dessa superfície ou varia de ponto para ponto?
- Qual das alternativas (a)–(e) descreve corretamente o campo nessa superfície?
Informações relevantes dadas:
- A esfera carregada é maciça e tem carga total
uniformemente distribuída no volume. - A superfície gaussiana é uma esfera concêntrica com raio
tal que (isto é, está dentro da esfera carregada).
Passo 2
Ideia física e simetria (por que escolhemos essa abordagem).
Explicar o que é útil aqui: quando a distribuição de carga tem simetria esférica (a densidade depende só da distância ao centro), o campo elétrico também será simétrico. Isso significa que, em qualquer superfície esférica concêntrica de raio , o campo elétrico tem mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e aponta radialmente (para fora se a carga for positiva, para dentro se for negativa). Essa conclusão vem da razão simples: não há direção preferencial no problema — todas as direções a partir do centro são equivalentes — então o vetor campo só pode depender de
e deve ser radial.
Explicar o que é útil aqui: quando a distribuição de carga tem simetria esférica (a densidade depende só da distância ao centro), o campo elétrico também será simétrico. Isso significa que, em qualquer superfície esférica concêntrica de raio
Para tornar isso matemático e quantitativo, aplicamos a Lei de Gauss.
Passo 3
Escrevendo a Lei de Gauss e preparando as quantidades necessárias.
A Lei de Gauss (forma integral) é:
A Lei de Gauss (forma integral) é:
onde
é a carga total contida dentro da superfície fechada
e
é a permissividade do vácuo.
Pelo argumento de simetria, sobre a superfície esférica de raio
temos
radial e de módulo constante
, e
é radial também, então
. Assim o fluxo fica:
Passo 4
Calcular a carga contida dentro da esfera de raio
.
Como a carga está uniformemente distribuída no volume da esfera de raio , a densidade volumétrica de carga é
Como a carga está uniformemente distribuída no volume da esfera de raio
A carga contida na esfera de raio
(a que está dentro da superfície gaussiana) é o volume dessa esfera vezes
:
Passo 5
Aplicar a Lei de Gauss para obter o módulo do campo.
Substituindo e o fluxo na Lei de Gauss:
Substituindo
Isolando
:
Portanto, para
o módulo do campo cresce linearmente com
. Em particular, para um dado
(fixo),
tem um único valor — é o mesmo em todos os pontos da superfície esférica de raio
.
Passo 6
Direção do campo e interpretação física.
Pela simetria e pelo sinal de : se
, o vetor
aponta radialmente para fora; se
, aponta radialmente para dentro. Não é tangente nem nulo (salvo no ponto
, onde
por causa do fator
). A variação do módulo com
é radial (ou seja, depende de quão longe do centro se está), mas sobre a mesma esfera de raio fixo
o módulo é constante.
Pela simetria e pelo sinal de
Passo 7
Confrontando com as alternativas e concluindo.
- (a) Diz que o campo tem o mesmo módulo em todos os pontos da superfície e aponta radialmente para fora. Isso é exatamente o que a simetria esférica e a Lei de Gauss garantem (assumindo
; para carga negativa o sentido seria para dentro, mas a alternativa descreve corretamente a uniformidade e direção radial). - (b) Incorreto: o campo não é tangente — ele é radial.
- (c) Incorreto: o campo não é nulo em todos os pontos (só é nulo no centro
). - (d) Incorreto no sentido literal: para pontos internos o campo depende da carga contida dentro do raio
, não somente da carga total (a carga externa não contribui para o campo interno por argumentos da Lei de Gauss, mas o valor de interno envolve , logo depende de e de via proporção). - (e) Incorreto: o campo não varia de ponto para ponto sobre a mesma superfície esférica (varia com
, mas numa dada superfície de raio fixo é constante).
Logo a alternativa correta é (a).
Resposta
a)