1. Considere uma esfera maciça com carga uniformemente distribuída em seu volume. Uma superfície gaussiana esférica é desenhada com raio menor que o raio da esfera carregada.
    Sobre o campo elétrico nessa superfície, assinale a alternativa correta.
    a) O campo elétrico tem o mesmo módulo em todos os pontos da superfície e aponta radialmente para fora.
    b) O campo elétrico é tangente à superfície gaussiana, pois a carga está distribuída uniformemente.
    c) O campo elétrico é nulo em todos os pontos da superfície, pois há cargas em todas as direções.
    d) O campo elétrico depende apenas da carga total da esfera, mesmo para pontos internos.
    e) O campo elétrico varia de ponto para ponto, pois a carga está distribuída no volume.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera maciça com carga uniformemente distribuída no volume e pede sobre o campo elétrico em uma superfície gaussiana esférica cujo raio r é menor que o raio da esfera carregada R. As perguntas implícitas são:
  • Qual é a direção do campo elétrico sobre essa superfície gaussiana?
  • O módulo do campo é o mesmo em todos os pontos dessa superfície ou varia de ponto para ponto?
  • Qual das alternativas (a)–(e) descreve corretamente o campo nessa superfície?
Informações relevantes dadas:
  • A esfera carregada é maciça e tem carga total Q uniformemente distribuída no volume.
  • A superfície gaussiana é uma esfera concêntrica com raio r tal que 0\le r<R (isto é, está dentro da esfera carregada).

Passo 2

Ideia física e simetria (por que escolhemos essa abordagem).
Explicar o que é útil aqui: quando a distribuição de carga tem simetria esférica (a densidade depende só da distância ao centro), o campo elétrico também será simétrico. Isso significa que, em qualquer superfície esférica concêntrica de raio r, o campo elétrico tem mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e aponta radialmente (para fora se a carga for positiva, para dentro se for negativa). Essa conclusão vem da razão simples: não há direção preferencial no problema — todas as direções a partir do centro são equivalentes — então o vetor campo só pode depender de r e deve ser radial.
Para tornar isso matemático e quantitativo, aplicamos a Lei de Gauss.

Passo 3

Escrevendo a Lei de Gauss e preparando as quantidades necessárias.
A Lei de Gauss (forma integral) é:
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície fechada S e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Pelo argumento de simetria, sobre a superfície esférica de raio r temos \mathbf{E} radial e de módulo constante E(r), e d\mathbf{A} é radial também, então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,dA. Assim o fluxo fica:
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2.

Passo 4

Calcular a carga contida dentro da esfera de raio r.
Como a carga está uniformemente distribuída no volume da esfera de raio R, a densidade volumétrica de carga é
\rho=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
A carga contida na esfera de raio r (a que está dentro da superfície gaussiana) é o volume dessa esfera vezes \rho:
Q_{\text{int}}=\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot \tfrac{4}{3}\pi r^{3}=Q\frac{r^{3}}{R^{3}}.

Passo 5

Aplicar a Lei de Gauss para obter o módulo do campo.
Substituindo Q_{\text{int}} e o fluxo na Lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\frac{r^{3}}{R^{3}}.
Isolando E(r):
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{R^{3}}\,r.
Portanto, para 0\le r<R o módulo do campo cresce linearmente com r. Em particular, para um dado r (fixo), E(r) tem um único valor — é o mesmo em todos os pontos da superfície esférica de raio r.

Passo 6

Direção do campo e interpretação física.
Pela simetria e pelo sinal de Q: se Q>0, o vetor \mathbf{E} aponta radialmente para fora; se Q<0, aponta radialmente para dentro. Não é tangente nem nulo (salvo no ponto r=0, onde E(0)=0 por causa do fator r). A variação do módulo com r é radial (ou seja, depende de quão longe do centro se está), mas sobre a mesma esfera de raio fixo r o módulo é constante.

Passo 7

Confrontando com as alternativas e concluindo.
  • (a) Diz que o campo tem o mesmo módulo em todos os pontos da superfície e aponta radialmente para fora. Isso é exatamente o que a simetria esférica e a Lei de Gauss garantem (assumindo Q>0; para carga negativa o sentido seria para dentro, mas a alternativa descreve corretamente a uniformidade e direção radial).
  • (b) Incorreto: o campo não é tangente — ele é radial.
  • (c) Incorreto: o campo não é nulo em todos os pontos (só é nulo no centro r=0).
  • (d) Incorreto no sentido literal: para pontos internos o campo depende da carga contida dentro do raio r, não somente da carga total Q (a carga externa não contribui para o campo interno por argumentos da Lei de Gauss, mas o valor de E interno envolve Q_{\text{int}}=Q(r^{3}/R^{3}), logo depende de r e de Q via proporção).
  • (e) Incorreto: o campo não varia de ponto para ponto sobre a mesma superfície esférica (varia com r, mas numa dada superfície de raio fixo é constante).
Logo a alternativa correta é (a).

Resposta

a)

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