Considere uma esfera maciça e homogênea de raio R e massa M, atravessada por três eixos distintos:
  • Eixo 1: vertical, passando pelo centro da esfera;
  • Eixo 2: horizontal, também passando pelo centro da esfera;
  • Eixo 3: inclinado, atravessando a esfera, mas sem passar pelo centro.
Sabendo que I_{1}, I_{2} e I_{3} representam os momentos de inércia da esfera em relação a esses eixos, é correto afirmar que:
(a) I_{1}=I_{2}<I_{3}
(b) I_{1}=I_{2}=I_{3}
(c) I_{1}<I_{2}<I_{3}
(d) I_{3}<I_{1}<I_{2}
(e) I_{1}<I_{2}=I_{3}

Passo 1

O enunciado dá uma esfera maciça e homogênea de raio R e massa M e três eixos distintos:
  • Eixo 1: passa pelo centro (vertical).
  • Eixo 2: passa pelo centro (horizontal).
  • Eixo 3: é inclinado e não passa pelo centro.
As incógnitas são os momentos de inércia \,I_{1}, I_{2}, I_{3}\, da esfera em relação a esses eixos, e a pergunta é identificar qual alternativa entre (a) a (e) é correta.
Informações relevantes fornecidas:
  • A esfera é maciça e homogênea (densidade uniforme).
  • Dois eixos (1 e 2) passam pelo centro; o terceiro eixo (3) não passa pelo centro.
  • Precisamos comparar os valores de \,I_{1}, I_{2}, I_{3}.

Passo 2

Conhecimento essencial 1 — momento de inércia de uma esfera em torno de um eixo que passa pelo seu centro:
  • Para uma esfera sólida homogênea, o momento de inércia em relação a qualquer eixo que passe pelo centro é o mesmo (por simetria esférica).
  • Esse valor é dado por \displaystyle I_{\text{cm}}=\frac{2}{5}MR^{2}.
Explicação didática: o momento de inércia mede “quanta massa está longe do eixo” e, por simetria, numa esfera não existe eixo privilegiado através do centro — portanto qualquer eixo que passe pelo centro tem o mesmo I. A fórmula \frac{2}{5}MR^{2} é obtida integrando \int r_{\perp}^{2}\,dm sobre toda a esfera usando coordenadas esféricas; aqui basta saber e confiar nesse resultado padrão. Nas fórmulas, M é a massa total da esfera e R é o raio.

Passo 3

Conhecimento essencial 2 — teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner):
  • Se você conhece o momento de inércia em um eixo que passa pelo centro de massa ( I_{\text{cm}}), então o momento de inércia em um eixo paralelo deslocado de uma distância d do centro é
I = I_{\text{cm}} + Md^{2}.
  • Aqui d é a distância perpendicular entre os dois eixos e M é a massa total do corpo.
Explicação didática: deslocar o eixo acrescenta Md^{2} porque toda a massa pode ser vista como tendo, além do seu espalhamento em torno do centro, uma contribuição extra como se toda a massa estivesse deslocada para a distância d do novo eixo (essa é a origem intuitiva do termo Md^{2}).

Passo 4

Aplicando ao nosso problema: eixos que passam pelo centro
  • Como os eixos 1 e 2 passam pelo centro, e pela simetria esférica qualquer eixo central dá o mesmo momento, temos
I_{1}=I_{2}=I_{\text{cm}}=\frac{2}{5}MR^{2}.

Passo 5

Aplicando ao eixo 3 (inclinado e sem passar pelo centro)
  • Seja d a distância perpendicular do centro da esfera até o eixo 3 (essa distância é positiva porque o eixo 3 não passa pelo centro).
  • Pelo teorema dos eixos paralelos:
I_{3}=I_{\text{cm}}+Md^{2}=\frac{2}{5}MR^{2}+Md^{2}.
  • Como d^{2}>0, segue que I_{3}>\frac{2}{5}MR^{2}. Portanto
I_{3}>I_{1}=I_{2}.
Exemplo numérico ilustrativo (opcional, só para intuir): se d=R/2 então I_{1}=I_{2}=0{,}4MR^{2} e Md^{2}=0{,}25MR^{2}, logo I_{3}=0{,}65MR^{2}, claramente maior.

Passo 6

Conclusão: os dois eixos que passam pelo centro têm momentos iguais e menores que o momento do eixo que não passa pelo centro. Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a)

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