Considere uma esfera maciça e homogênea de raio
e massa
, atravessada por três eixos distintos:
- Eixo 1: vertical, passando pelo centro da esfera;
- Eixo 2: horizontal, também passando pelo centro da esfera;
- Eixo 3: inclinado, atravessando a esfera, mas sem passar pelo centro.
Sabendo que
e
representam os momentos de inércia da esfera em relação a esses eixos, é correto afirmar que:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá uma esfera maciça e homogênea de raio
e massa
e três eixos distintos:
- Eixo 1: passa pelo centro (vertical).
- Eixo 2: passa pelo centro (horizontal).
- Eixo 3: é inclinado e não passa pelo centro.
As incógnitas são os momentos de inércia
da esfera em relação a esses eixos, e a pergunta é identificar qual alternativa entre (a) a (e) é correta.
Informações relevantes fornecidas:
- A esfera é maciça e homogênea (densidade uniforme).
- Dois eixos (1 e 2) passam pelo centro; o terceiro eixo (3) não passa pelo centro.
- Precisamos comparar os valores de
Passo 2
Conhecimento essencial 1 — momento de inércia de uma esfera em torno de um eixo que passa pelo seu centro:
- Para uma esfera sólida homogênea, o momento de inércia em relação a qualquer eixo que passe pelo centro é o mesmo (por simetria esférica).
- Esse valor é dado por
.
Explicação didática: o momento de inércia mede “quanta massa está longe do eixo” e, por simetria, numa esfera não existe eixo privilegiado através do centro — portanto qualquer eixo que passe pelo centro tem o mesmo
. A fórmula
é obtida integrando
sobre toda a esfera usando coordenadas esféricas; aqui basta saber e confiar nesse resultado padrão. Nas fórmulas,
é a massa total da esfera e
é o raio.
Passo 3
Conhecimento essencial 2 — teorema dos eixos paralelos (teorema de Steiner):
- Se você conhece o momento de inércia em um eixo que passa pelo centro de massa (
), então o momento de inércia em um eixo paralelo deslocado de uma distância do centro é
- Aqui
é a distância perpendicular entre os dois eixos e é a massa total do corpo.
Explicação didática: deslocar o eixo acrescenta
porque toda a massa pode ser vista como tendo, além do seu espalhamento em torno do centro, uma contribuição extra como se toda a massa estivesse deslocada para a distância
do novo eixo (essa é a origem intuitiva do termo
).
Passo 4
Aplicando ao nosso problema: eixos que passam pelo centro
- Como os eixos 1 e 2 passam pelo centro, e pela simetria esférica qualquer eixo central dá o mesmo momento, temos
Passo 5
Aplicando ao eixo 3 (inclinado e sem passar pelo centro)
- Seja
a distância perpendicular do centro da esfera até o eixo 3 (essa distância é positiva porque o eixo 3 não passa pelo centro). - Pelo teorema dos eixos paralelos:
- Como
, segue que . Portanto
Exemplo numérico ilustrativo (opcional, só para intuir): se
então
e
, logo
, claramente maior.
Passo 6
Conclusão: os dois eixos que passam pelo centro têm momentos iguais e menores que o momento do eixo que não passa pelo centro. Isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
(a)