Considere uma esfera maciça isolante de raio R e carga total Q. Calcule as constantes A, B e C e o campo elétrico gerado pela esfera em todo espaço para as densidades volumétricas:
\rho=C / r^{2}, onde A, B e C são constantes e r é a distância ao centro da esfera.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma esfera maciça isolante de raio R e carga total Q.
  • A densidade volumétrica é radial e depende de r segundo \rho(r)=\dfrac{C}{r^{2}}, onde C é uma constante a determinar e r é a distância ao centro.
    O que é pedido:
  • Calcular as constantes A, B e C.
  • Calcular o campo elétrico gerado pela esfera em todo o espaço (ou seja, para r<R e para r>R).

Passo 2

Decisão do método e ideia física (sem pular etapas).
  • A distribuição é esfericamente simétrica (dependência apenas de r), então podemos aplicar a Lei de Gauss para um superfície gaussiana esférica de raio r.
  • A Lei de Gauss em forma integral vale:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Para simetria esférica \mathbf{E} é radial e constante em módulo sobre a superfície esférica de raio r, de área 4\pi r^{2}. Assim a equação reduz para
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}}.
  • Logo, para obter E(r) precisamos primeiro calcular a carga contida em uma esfera de raio r:
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr'.
Vou calcular essa integral explícita no passo seguinte.

Passo 3

Calcular a carga encerrada Q_{\text{enc}}(r) para r\le R.
  • Substituindo \rho(r')=\dfrac{C}{r'^{2}} na integral:
Q_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r}\frac{C}{r'^{2}}\,4\pi r'^{2}\,dr' = 4\pi C\int_{0}^{r}dr' = 4\pi C r.
  • Observação didática: o fator r'^{2} do elemento de volume spherical cancela com 1/r'^{2} da densidade, transformando a integral numa integral trivial de constante. Isso simplifica bastante o cálculo.

Passo 4

Determinar C a partir da carga total Q.
  • A carga total da esfera é \,Q=Q_{\text{enc}}(R)\,. Usando o resultado anterior:
Q = 4\pi C R.
  • Isolando C:
C=\frac{Q}{4\pi R}.
Esse é o valor de C exigido pelo enunciado (expressando a densidade em termos da carga total).

Passo 5

Calcular o campo elétrico para r<R (dentro da esfera).
  • Pela Lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}}=\frac{4\pi C r}{\varepsilon_{0}}.
  • Dividindo ambos os lados por 4\pi r^{2}:
E(r)=\frac{C}{\varepsilon_{0} r}\qquad(\text{para }0<r<R).
  • Colocando C=\dfrac{Q}{4\pi R}:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}\cdot\frac{1}{r} \qquad(\text{para }0<r<R).
  • Direção: radial (vetor) apontando para fora se Q>0. Em notação vetorial:
\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}\,\frac{1}{r}\,\hat{\mathbf r},\qquad(0<r<R).
  • Observação didática: esse campo escala como 1/r dentro, diferente do caso de densidade uniforme (onde E\propto r). Aqui a singularidade da densidade em r=0 faz com que E tenda a infinito quando r\to0.

Passo 6

Calcular o campo elétrico para r>R (fora da esfera).
  • Para r>R toda a carga Q está dentro da superfície gaussiana, então
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}.
  • Em notação vetorial:
\mathbf{E}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\,\hat{\mathbf r},\qquad(r>R).
  • Observação: fora da esfera o campo é idêntico ao de uma carga pontual Q no centro.

Passo 7

Agora determinar as constantes A e B. Interpretação escolhida (padrão em problemas desse tipo):
  • Pedirei as constantes A e B como os coeficientes da expressão do potencial elétrico dentro da esfera escrevendo o potencial interno como
V_{\text{in}}(r)=A\ln r + B,\qquad(0<r<R).
Vou assumir a condição de referência V(\infty)=0, então o potencial externo é
V_{\text{out}}(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\qquad(r\ge R).
  • Justificativa: como E(r)= -\dfrac{dV}{dr} e dentro E(r)=\dfrac{C}{\varepsilon_{0}r}, ao integrar temos um termo logarítmico. Agora obtenho A e B impondo continuidade do potencial em r=R.

Passo 8

Integração para obter A e B e aplicação das condições de contorno.
  • Dentro: como E(r)=-dV/dr e E(r)=C/(\varepsilon_{0}r),
-\frac{dV_{\text{in}}}{dr}=\frac{C}{\varepsilon_{0}r}\quad\Rightarrow\quad \frac{dV_{\text{in}}}{dr}=-\frac{C}{\varepsilon_{0}r}.
Integrando:
V_{\text{in}}(r)=-\frac{C}{\varepsilon_{0}}\ln r + \text{const}.
Comparando com a forma V_{\text{in}}(r)=A\ln r + B
A=-\frac{C}{\varepsilon_{0}},\qquad B=\text{const}.
  • Continuidade em r=R (potencial sem salto): V_{\text{in}}(R)=V_{\text{out}}(R). Logo
-\frac{C}{\varepsilon_{0}}\ln R + B = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}.
Isolando B:
B=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}+\frac{C}{\varepsilon_{0}}\ln R.
  • Finalmente substituindo C=\dfrac{Q}{4\pi R} em A e B:
A=-\frac{C}{\varepsilon_{0}}=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R},
B=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}+\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}\ln R =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}\bigl(1+\ln R\bigr).
  • Observação: o potencial interno contém \ln r e diverge quando r\to0 (novamente indício da não-fisicalidade da densidade singular no centro).

Passo 9

Verificação rápida de continuidade do campo normal na superfície:
  • O campo radial tem que satisfazer a condição de Gauss local (a componente radial do campo pode ser descontínua apenas se houver carga superficial, aqui não há). Calculando os limites em r\to R^{\pm}:
E_{\text{in}}(R)=\frac{C}{\varepsilon_{0}R}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}},\qquad E_{\text{out}}(R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}}.
Portanto os módulos coincidem e o campo é contínuo em r=R, como deve ser quando não há carga superficial. Boa checagem final.

Resposta

[C=\dfrac{Q}{4\pi R}.)
A=-\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}.
B=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}\bigl(1+\ln R\bigr).
(\displaystyle \mathbf{E}®= \begin{cases} \displaystyle \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R}\,\dfrac{1}{r}\,\hat{\mathbf r}, & 0<r<R,\\[8pt] \displaystyle \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\,\hat{\mathbf r}, & r>R. \end{cases}]]

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