Considere uma esfera maciça isolante de raio
e carga total
. Calcule as constantes
e
e o campo elétrico gerado pela esfera em todo espaço para as densidades volumétricas:
, onde
e
são constantes e
é a distância ao centro da esfera.
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma esfera maciça isolante de raio
e carga total . - A densidade volumétrica é radial e depende de
segundo , onde é uma constante a determinar e é a distância ao centro.
O que é pedido: - Calcular as constantes
, e . - Calcular o campo elétrico gerado pela esfera em todo o espaço (ou seja, para
e para ).
Passo 2
Decisão do método e ideia física (sem pular etapas).
- A distribuição é esfericamente simétrica (dependência apenas de
), então podemos aplicar a Lei de Gauss para um superfície gaussiana esférica de raio . - A Lei de Gauss em forma integral vale:
Para simetria esférica
é radial e constante em módulo sobre a superfície esférica de raio
, de área
. Assim a equação reduz para
- Logo, para obter
precisamos primeiro calcular a carga contida em uma esfera de raio :
Vou calcular essa integral explícita no passo seguinte.
Passo 3
Calcular a carga encerrada
para
.
- Substituindo
na integral:
- Observação didática: o fator
do elemento de volume spherical cancela com da densidade, transformando a integral numa integral trivial de constante. Isso simplifica bastante o cálculo.
Passo 4
Determinar
a partir da carga total
.
- A carga total da esfera é
. Usando o resultado anterior:
- Isolando
:
Esse é o valor de
exigido pelo enunciado (expressando a densidade em termos da carga total).
Passo 5
Calcular o campo elétrico para
(dentro da esfera).
- Pela Lei de Gauss:
- Dividindo ambos os lados por
:
- Colocando
:
- Direção: radial (vetor) apontando para fora se
. Em notação vetorial:
- Observação didática: esse campo escala como
dentro, diferente do caso de densidade uniforme (onde ). Aqui a singularidade da densidade em faz com que tenda a infinito quando .
Passo 6
Calcular o campo elétrico para
(fora da esfera).
- Para
toda a carga está dentro da superfície gaussiana, então
- Em notação vetorial:
- Observação: fora da esfera o campo é idêntico ao de uma carga pontual
no centro.
Passo 7
Agora determinar as constantes
e
. Interpretação escolhida (padrão em problemas desse tipo):
- Pedirei as constantes
e como os coeficientes da expressão do potencial elétrico dentro da esfera escrevendo o potencial interno como
Vou assumir a condição de referência
, então o potencial externo é
- Justificativa: como
e dentro , ao integrar temos um termo logarítmico. Agora obtenho e impondo continuidade do potencial em .
Passo 8
Integração para obter
e
e aplicação das condições de contorno.
- Dentro: como
e ,
Integrando:
Comparando com a forma
dá
- Continuidade em
(potencial sem salto): . Logo
Isolando
:
- Finalmente substituindo
em e :
- Observação: o potencial interno contém
e diverge quando (novamente indício da não-fisicalidade da densidade singular no centro).
Passo 9
Verificação rápida de continuidade do campo normal na superfície:
- O campo radial tem que satisfazer a condição de Gauss local (a componente radial do campo pode ser descontínua apenas se houver carga superficial, aqui não há). Calculando os limites em
:
Portanto os módulos coincidem e o campo é contínuo em
, como deve ser quando não há carga superficial. Boa checagem final.
Resposta
[C=\dfrac{Q}{4\pi R}.)
(\displaystyle \mathbf{E}®=
]]