2- Em duas dimensões, usando dois vetores genéricos A e B comprove (não é uma prova) em uma rotação em torno de Z, que A•B é escalar (o produto escalar é realmente um escalar)

Passo 1

O enunciado pede que se mostre (não necessariamente uma prova formal) que, em duas dimensões, para dois vetores genéricos A e B, uma rotação em torno do eixo Z não altera o produto escalar: ou seja, que o produto escalar é realmente um escalar (invariante por rotação).
Informações dadas (explicitadas):
  • Dois vetores genéricos em 2D: A e B.
  • Uma rotação no plano xy (rotação em torno de Z) por um ângulo \theta.
    O que se quer mostrar: após a rotação, os vetores transformados A' e B' satisfazem \;A'\cdot B'=A\cdot B\;.

Passo 2

Definir os vetores por componentes e o produto escalar. Seja
A=\begin{pmatrix}A_x\\[4pt]A_y\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}B_x\\[4pt]B_y\end{pmatrix}.
O produto escalar em componentes é definido por
A\cdot B = A_x B_x + A_y B_y.
Explicação didática rápida: o produto escalar pega as componentes correspondentes de cada vetor, multiplica e soma. Se isso não mudar quando mudamos o referencial por uma rotação, então o produto escalar é um número (um escalar) independente da orientação.]

Passo 3

Escrever como as componentes mudam sob uma rotação no plano por um ângulo \theta. A rotação de um vetor no plano é dada pelas transformações
\begin{aligned} A_x' &= A_x\cos\theta - A_y\sin\theta,\\[4pt] A_y' &= A_x\sin\theta + A_y\cos\theta, \end{aligned} \qquad \begin{aligned} B_x' &= B_x\cos\theta - B_y\sin\theta,\\[4pt] B_y' &= B_x\sin\theta + B_y\cos\theta. \end{aligned}
Breve motivo: essas fórmulas vêm da rotação de um vetor no plano (projeta-se nas direções x e y após girar por \theta).]

Passo 4

Calcular explicitamente o produto escalar dos vetores rotacionados A' e B' usando as componentes acima e mostrar que é igual a A\cdot B.
Começamos por escrever
A'\cdot B' = A_x' B_x' + A_y' B_y'.
Substituindo as expressões de A_x',A_y',B_x',B_y' temos duas parcelas. Primeiro a parcela A_x' B_x':
\begin{aligned} A_x' B_x' &= (A_x\cos\theta - A_y\sin\theta)(B_x\cos\theta - B_y\sin\theta)\\[4pt] &= A_x B_x \cos^2\theta - A_x B_y \cos\theta\sin\theta - A_y B_x \sin\theta\cos\theta + A_y B_y \sin^2\theta. \end{aligned}
Agora a parcela A_y' B_y':
\begin{aligned} A_y' B_y' &= (A_x\sin\theta + A_y\cos\theta)(B_x\sin\theta + B_y\cos\theta)\\[4pt] &= A_x B_x \sin^2\theta + A_x B_y \sin\theta\cos\theta + A_y B_x \cos\theta\sin\theta + A_y B_y \cos^2\theta. \end{aligned}
Somando as duas parcelas:
\begin{aligned} A'\cdot B' &= \bigl(A_x B_x \cos^2\theta + A_x B_x \sin^2\theta\bigr)\\[4pt] &\quad + \bigl(-A_x B_y \cos\theta\sin\theta + A_x B_y \sin\theta\cos\theta\bigr)\\[4pt] &\quad + \bigl(-A_y B_x \sin\theta\cos\theta + A_y B_x \cos\theta\sin\theta\bigr)\\[4pt] &\quad + \bigl(A_y B_y \sin^2\theta + A_y B_y \cos^2\theta\bigr). \end{aligned}
Agora simplificamos usando as identidades trigonométricas \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 e observando que os termos mistos se cancelam (por serem iguais com sinais opostos):
\begin{aligned} A'\cdot B' &= A_x B_x(\cos^2\theta+\sin^2\theta) + 0 + 0 + A_y B_y(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\\[4pt] &= A_x B_x + A_y B_y\\[4pt] &= A\cdot B. \end{aligned}
Portanto a soma final é exatamente o produto escalar original. Isso mostra, de forma direta e algébrica, que a rotação não muda o valor do produto escalar.]

Passo 5

Apresentar uma visão mais compacta usando matrizes (útil na prova quando for rápido). Defina o vetor coluna
A=\begin{pmatrix}A_x\\[4pt]A_y\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}B_x\\[4pt]B_y\end{pmatrix},
e a matriz de rotação
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Após rotação temos A'=R(\theta)A e B'=R(\theta)B. O produto escalar pode ser escrito como transposta vezes vetor:
A\cdot B = A^{\mathsf{T}} B.
Então
A'\cdot B' = (R A)^{\mathsf{T}}(R B) = A^{\mathsf{T}} R^{\mathsf{T}} R B.
Como R(\theta) é uma matriz de rotação, ela é ortogonal, o que significa que
R^{\mathsf{T}}R = I,
onde I é a matriz identidade. Portanto
A'\cdot B' = A^{\mathsf{T}} I B = A^{\mathsf{T}} B = A\cdot B.
Comentário didático: a razão de R^{\mathsf{T}}R=I é que as colunas (e linhas) de R são vetores unitários ortogonais entre si; rotacionar preserva comprimentos e ângulos, e isso se traduz na propriedade ortogonal da matriz.]

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (só para sentir na prática). Tome A=(1,2) e B=(3,4). O produto escalar inicial é
A\cdot B = 1\cdot 3 + 2\cdot 4 = 3 + 8 = 11.
Rotacione por \theta=90^\circ (fórmula simples: \cos90^\circ=0, \sin90^\circ=1). Então
A' = (-2,\,1),\qquad B' = (-4,\,3).
O produto escalar após rotação é
A'\cdot B' = (-2)(-4) + 1\cdot 3 = 8 + 3 = 11,
o mesmo valor. Isso ilustra concretamente a invariância.

Passo 7

Interpretação final e dica para prova: mostrar que o produto escalar é invariante por rotação pode ser feito de duas maneiras rápidas na prova: (a) expandindo as componentes como em Passo 4 e usando \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 (bom quando se pede desenvolver passo a passo); ou (b) usando a notação matricial e a propriedade R^{\mathsf{T}}R=I de matrizes de rotação (mais elegante e curto). Em ambos os casos o resultado é o mesmo: rotação não altera A\cdot B, portanto o produto escalar é um escalar (um número invariável sob rotações). Você consegue aplicar isso na prova — respira, faz com calma e aplica as identidades trigonométricas ou a propriedade ortogonal da matriz.

Resposta

A'\cdot B' = A\cdot B

Exercícios relacionados