2- Em duas dimensões, usando dois vetores genéricos A e B comprove (não é uma prova) em uma rotação em torno de Z, que A•B é escalar (o produto escalar é realmente um escalar)
Passo 1
O enunciado pede que se mostre (não necessariamente uma prova formal) que, em duas dimensões, para dois vetores genéricos
e
, uma rotação em torno do eixo
não altera o produto escalar: ou seja, que o produto escalar é realmente um escalar (invariante por rotação).
Informações dadas (explicitadas):
Informações dadas (explicitadas):
- Dois vetores genéricos em 2D:
e . - Uma rotação no plano
(rotação em torno de ) por um ângulo .
O que se quer mostrar: após a rotação, os vetores transformadose satisfazem .
Passo 2
Definir os vetores por componentes e o produto escalar. Seja
O produto escalar em componentes é definido por
Explicação didática rápida: o produto escalar pega as componentes correspondentes de cada vetor, multiplica e soma. Se isso não mudar quando mudamos o referencial por uma rotação, então o produto escalar é um número (um escalar) independente da orientação.]
Passo 3
Escrever como as componentes mudam sob uma rotação no plano por um ângulo
. A rotação de um vetor no plano é dada pelas transformações
Breve motivo: essas fórmulas vêm da rotação de um vetor no plano (projeta-se nas direções
e
após girar por
).]
Passo 4
Calcular explicitamente o produto escalar dos vetores rotacionados
e
usando as componentes acima e mostrar que é igual a
.
Começamos por escrever
Substituindo as expressões de
temos duas parcelas. Primeiro a parcela
:
Agora a parcela
:
Somando as duas parcelas:
Agora simplificamos usando as identidades trigonométricas
e observando que os termos mistos se cancelam (por serem iguais com sinais opostos):
Portanto a soma final é exatamente o produto escalar original. Isso mostra, de forma direta e algébrica, que a rotação não muda o valor do produto escalar.]
Passo 5
Apresentar uma visão mais compacta usando matrizes (útil na prova quando for rápido). Defina o vetor coluna
e a matriz de rotação
Após rotação temos
e
. O produto escalar pode ser escrito como transposta vezes vetor:
Então
Como
é uma matriz de rotação, ela é ortogonal, o que significa que
onde
é a matriz identidade. Portanto
Comentário didático: a razão de
é que as colunas (e linhas) de
são vetores unitários ortogonais entre si; rotacionar preserva comprimentos e ângulos, e isso se traduz na propriedade ortogonal da matriz.]
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar (só para sentir na prática). Tome
e
. O produto escalar inicial é
Rotacione por
(fórmula simples:
,
). Então
O produto escalar após rotação é
o mesmo valor. Isso ilustra concretamente a invariância.
Passo 7
Interpretação final e dica para prova: mostrar que o produto escalar é invariante por rotação pode ser feito de duas maneiras rápidas na prova: (a) expandindo as componentes como em Passo 4 e usando
(bom quando se pede desenvolver passo a passo); ou (b) usando a notação matricial e a propriedade
de matrizes de rotação (mais elegante e curto). Em ambos os casos o resultado é o mesmo: rotação não altera
, portanto o produto escalar é um escalar (um número invariável sob rotações). Você consegue aplicar isso na prova — respira, faz com calma e aplica as identidades trigonométricas ou a propriedade ortogonal da matriz.