1- Obtenha os vetores velocidade e aceleração em coordenadas esféricas usando duas rotações sucessivas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: obter os vetores velocidade e aceleração em coordenadas esféricas usando duas rotações sucessivas. Ou seja, expressar \mathbf{v} e \mathbf{a} como combinações das bases locais esféricas \{\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi\} em função das coordenadas (r,\theta,\varphi) e suas derivadas temporais.
Informações relevantes que vamos usar (nenhuma outra é dada pelo enunciado):
As variáveis são r(t), \theta(t) (ângulo polar, colatitude, medido a partir do eixo z) e \varphi(t) (ângulo azimutal, medido a partir do eixo x).
Queremos expressões para \mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi, suas derivadas temporais, e então \mathbf{v} e \mathbf{a}.
Passo 2
Definição de coordenadas esféricas e a posição em cartesianas. Primeiro escrevemos as relações entre coordenadas esféricas e cartesianas (essas são as fórmulas padrão que definem a geometria):
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
onde \mathbf{e}_r é a direção radial unitária. As demais bases locais que precisamos são \mathbf{e}_\theta (direção de aumento de \theta, isto é, “para baixo” a partir de z) e \mathbf{e}_\varphi (direção tangencial azimutal, sentido de aumento de \varphi).
Passo 3
Como obter \mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi por duas rotações sucessivas. Ideia: começamos com os eixos cartesianos (\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}). Fazemos primeiro uma rotação em torno do eixo y de ângulo \theta para inclinar, e depois uma rotação em torno do eixo z de ângulo \varphi para girar azimutalmente. As matrizes de rotação (atuando sobre vetores coluna) são:
A composição que usamos é primeiro R_y(\theta) e depois R_z(\varphi); a matriz total é R_z(\varphi)R_y(\theta).]
Passo 4
Aplicar as rotações aos vetores cartesianos para obter as bases esféricas. Vamos agir com a rotação combinada sobre os vetores unitários cartesianos \mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1). Calcula-se:
Para \mathbf{e}_r tomamos R_z(\varphi)R_y(\theta)\mathbf{k}. Fazendo as multiplicações dá
Essas fórmulas coincidem com as expressões padrão das bases esféricas em termos das componentes cartesianas.]
Passo 5
Derivadas temporais das bases unitárias (passo crucial). Vamos diferenciar componente a componente, usando a regra da cadeia (derivadas de \theta(t) e \varphi(t)). Começamos por \mathbf{e}_r:
Repare que o primeiro vetor entre parênteses é exatamente \mathbf{e}_\theta e o segundo é \sin\theta\,\mathbf{e}_\varphi. Então obtemos a forma compacta e muito útil:
Breve interpretação: \dot{r} é velocidade radial, r\dot{\theta} é velocidade associada à variação do ângulo polar (arco com raio r), e r\sin\theta\,\dot{\varphi} é velocidade azimutal (projeção do raio no plano xy vezes \dot\varphi).
Passo 7
Aceleração \mathbf{a}. Derivamos \mathbf{v} termo a termo. Use a regra do produto com as derivadas das bases (Passo 5). Escrevo a diferenciação de forma organizada:
Agora substituímos \dot{\mathbf{e}}_r,\dot{\mathbf{e}}_\theta,\dot{\mathbf{e}}_\varphi e agrupamos as componentes em \mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi. Fazendo as somas cuidadosamente obtemos, após simplificação, os coeficientes:
Comentários finais, interpretação e dica de prova.
Cada termo tem significado físico: nos componentes radiais aparecem termos centrífugais negativos como -r\dot{\theta}^2 e -r\sin^2\theta\,\dot{\varphi}^2.
Nos termos mistos aparecem termos de “Coriolis” do tipo 2\dot{r}\dot{\theta} e 2\dot{r}\sin\theta\,\dot{\varphi} e também termos que acoplam ângulos (2r\cos\theta\,\dot{\theta}\dot{\varphi}).
Na prova: memorize a forma da velocidade (Passo 6) e as derivadas das bases (Passo 5); com isso a aceleração sai por aplicação direta da regra do produto.
Sugestão prática: ao montar \mathbf{a} faça primeiro o rascunho escrevendo todos os termos resultantes da diferenciação e só depois agrupe por \mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi — assim evita erros de sinais.