1- Obtenha os vetores velocidade e aceleração em coordenadas esféricas usando duas rotações sucessivas.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: obter os vetores velocidade e aceleração em coordenadas esféricas usando duas rotações sucessivas. Ou seja, expressar \mathbf{v} e \mathbf{a} como combinações das bases locais esféricas \{\mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi\} em função das coordenadas (r,\theta,\varphi) e suas derivadas temporais.
Informações relevantes que vamos usar (nenhuma outra é dada pelo enunciado):
  • As variáveis são r(t), \theta(t) (ângulo polar, colatitude, medido a partir do eixo z) e \varphi(t) (ângulo azimutal, medido a partir do eixo x).
  • Queremos expressões para \mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi, suas derivadas temporais, e então \mathbf{v} e \mathbf{a}.

Passo 2

Definição de coordenadas esféricas e a posição em cartesianas. Primeiro escrevemos as relações entre coordenadas esféricas e cartesianas (essas são as fórmulas padrão que definem a geometria):
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
A posição vetorial é
\mathbf{r} = x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} = r\,\mathbf{e}_r,
onde \mathbf{e}_r é a direção radial unitária. As demais bases locais que precisamos são \mathbf{e}_\theta (direção de aumento de \theta, isto é, “para baixo” a partir de z) e \mathbf{e}_\varphi (direção tangencial azimutal, sentido de aumento de \varphi).

Passo 3

Como obter \mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi por duas rotações sucessivas. Ideia: começamos com os eixos cartesianos (\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}). Fazemos primeiro uma rotação em torno do eixo y de ângulo \theta para inclinar, e depois uma rotação em torno do eixo z de ângulo \varphi para girar azimutalmente. As matrizes de rotação (atuando sobre vetores coluna) são:
R_y(\theta)= \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix}, \qquad R_z(\varphi)= \begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0\\[4pt] \sin\varphi & \cos\varphi & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
A composição que usamos é primeiro R_y(\theta) e depois R_z(\varphi); a matriz total é R_z(\varphi)R_y(\theta).]

Passo 4

Aplicar as rotações aos vetores cartesianos para obter as bases esféricas. Vamos agir com a rotação combinada sobre os vetores unitários cartesianos \mathbf{i}=(1,0,0), \mathbf{j}=(0,1,0), \mathbf{k}=(0,0,1). Calcula-se:
  • Para \mathbf{e}_r tomamos R_z(\varphi)R_y(\theta)\mathbf{k}. Fazendo as multiplicações dá
\mathbf{e}_r = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi\\[4pt] \sin\theta\sin\varphi\\[4pt] \cos\theta \end{pmatrix}.
  • Para \mathbf{e}_\theta tomamos R_z(\varphi)R_y(\theta)\mathbf{i}. Isso dá
\mathbf{e}_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi\\[4pt] \cos\theta\sin\varphi\\[4pt] -\sin\theta \end{pmatrix}.
  • Para \mathbf{e}_\varphi tomamos R_z(\varphi)R_y(\theta)\mathbf{j}. Isso dá
\mathbf{e}_\varphi = \begin{pmatrix} -\sin\varphi\\[4pt] \cos\varphi\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.
Essas fórmulas coincidem com as expressões padrão das bases esféricas em termos das componentes cartesianas.]

Passo 5

Derivadas temporais das bases unitárias (passo crucial). Vamos diferenciar componente a componente, usando a regra da cadeia (derivadas de \theta(t) e \varphi(t)). Começamos por \mathbf{e}_r:
\mathbf{e}_r = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi\\[4pt] \sin\theta\sin\varphi\\[4pt] \cos\theta \end{pmatrix}.
Derivando em relação ao tempo:
\dot{\mathbf{e}}_r = \dot{\theta} \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi\\[4pt] \cos\theta\sin\varphi\\[4pt] -\sin\theta \end{pmatrix} + \dot{\varphi} \begin{pmatrix} -\sin\theta\sin\varphi\\[4pt] \sin\theta\cos\varphi\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.
Repare que o primeiro vetor entre parênteses é exatamente \mathbf{e}_\theta e o segundo é \sin\theta\,\mathbf{e}_\varphi. Então obtemos a forma compacta e muito útil:
\dot{\mathbf{e}}_r = \dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta + \dot{\varphi}\,\sin\theta\,\mathbf{e}_\varphi.
Agora diferenciamos \mathbf{e}_\theta. Partimos da expressão em componentes e aplicamos a derivada:
\dot{\mathbf{e}}_\theta = -\dot{\theta}\, \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi\\[4pt] \sin\theta\sin\varphi\\[4pt] \cos\theta \end{pmatrix} + \dot{\varphi} \begin{pmatrix} -\cos\theta\sin\varphi\\[4pt] \cos\theta\cos\varphi\\[4pt] 0 \end{pmatrix}.
O primeiro vetor entre parênteses é \mathbf{e}_r com sinal negativo, e o segundo vetor é \cos\theta\,\mathbf{e}_\varphi. Logo
\dot{\mathbf{e}}_\theta = -\dot{\theta}\,\mathbf{e}_r + \dot{\varphi}\,\cos\theta\,\mathbf{e}_\varphi.
Finalmente \mathbf{e}_\varphi. Diferenciando:
\dot{\mathbf{e}}_\varphi = \dot{\varphi} \begin{pmatrix} -\cos\varphi\\[4pt] -\sin\varphi\\[4pt] 0 \end{pmatrix} = -\dot{\varphi}\sin\theta \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi\\[4pt] \sin\theta\sin\varphi\\[4pt] \cos\theta \end{pmatrix} -\dot{\varphi}\cos\theta \begin{pmatrix} \cos\theta\cos\varphi\\[4pt] \cos\theta\sin\varphi\\[4pt] -\sin\theta \end{pmatrix},
mas é mais direto reconhecer (usando as bases já definidas) que
\dot{\mathbf{e}}_\varphi = -\dot{\varphi}\,\sin\theta\,\mathbf{e}_r - \dot{\varphi}\,\cos\theta\,\mathbf{e}_\theta.
Resumo das derivadas (útil para a prova):
\dot{\mathbf{e}}_r = \dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta + \dot{\varphi}\,\sin\theta\,\mathbf{e}_\varphi, \qquad \dot{\mathbf{e}}_\theta = -\dot{\theta}\,\mathbf{e}_r + \dot{\varphi}\,\cos\theta\,\mathbf{e}_\varphi, \qquad \dot{\mathbf{e}}_\varphi = -\dot{\varphi}\,\sin\theta\,\mathbf{e}_r - \dot{\varphi}\,\cos\theta\,\mathbf{e}_\theta.]

Passo 6

Velocidade \mathbf{v}. A posição é \mathbf{r}=r\mathbf{e}_r. Aplicando a regra do produto:
\mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}}=\dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\,\dot{\mathbf{e}}_r.
Substituindo \dot{\mathbf{e}}_r que acabamos de achar:
\mathbf{v}=\dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\big(\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta + \dot{\varphi}\,\sin\theta\,\mathbf{e}_\varphi\big).
Ou, organizando os termos por componentes:
\boxed{\mathbf{v}=\dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\,\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta + r\sin\theta\,\dot{\varphi}\,\mathbf{e}_\varphi.}
Breve interpretação: \dot{r} é velocidade radial, r\dot{\theta} é velocidade associada à variação do ângulo polar (arco com raio r), e r\sin\theta\,\dot{\varphi} é velocidade azimutal (projeção do raio no plano xy vezes \dot\varphi).

Passo 7

Aceleração \mathbf{a}. Derivamos \mathbf{v} termo a termo. Use a regra do produto com as derivadas das bases (Passo 5). Escrevo a diferenciação de forma organizada:
Partimos de
\mathbf{v}=\dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta + r\sin\theta\,\dot{\varphi}\,\mathbf{e}_\varphi.
Derivando:
\mathbf{a}=\ddot{r}\,\mathbf{e}_r + \dot{r}\,\dot{\mathbf{e}}_r +(\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\,\mathbf{e}_\theta + r\dot{\theta}\,\dot{\mathbf{e}}_\theta +(\dot{r}\sin\theta\,\dot{\varphi}+r\cos\theta\,\dot{\theta}\,\dot{\varphi}+r\sin\theta\,\ddot{\varphi})\,\mathbf{e}_\varphi + r\sin\theta\,\dot{\varphi}\,\dot{\mathbf{e}}_\varphi.
Agora substituímos \dot{\mathbf{e}}_r,\dot{\mathbf{e}}_\theta,\dot{\mathbf{e}}_\varphi e agrupamos as componentes em \mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi. Fazendo as somas cuidadosamente obtemos, após simplificação, os coeficientes:
  • Coeficiente de \mathbf{e}_r:
\ddot{r} - r\dot{\theta}^2 - r\sin^2\theta\,\dot{\varphi}^2.
  • Coeficiente de \mathbf{e}_\theta:
r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} - r\sin\theta\cos\theta\,\dot{\varphi}^2.
  • Coeficiente de \mathbf{e}_\varphi:
r\sin\theta\,\ddot{\varphi} + 2\dot{r}\sin\theta\,\dot{\varphi} + 2r\cos\theta\,\dot{\theta}\,\dot{\varphi}.
Portanto a aceleração fica
\boxed{\mathbf{a}= \big(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2-r\sin^2\theta\,\dot{\varphi}^2\big)\mathbf{e}_r +\big(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}-r\sin\theta\cos\theta\,\dot{\varphi}^2\big)\mathbf{e}_\theta +\big(r\sin\theta\,\ddot{\varphi}+2\dot{r}\sin\theta\,\dot{\varphi}+2r\cos\theta\,\dot{\theta}\dot{\varphi}\big)\mathbf{e}_\varphi.}

Passo 8

Comentários finais, interpretação e dica de prova.
  • Cada termo tem significado físico: nos componentes radiais aparecem termos centrífugais negativos como -r\dot{\theta}^2 e -r\sin^2\theta\,\dot{\varphi}^2.
  • Nos termos mistos aparecem termos de “Coriolis” do tipo 2\dot{r}\dot{\theta} e 2\dot{r}\sin\theta\,\dot{\varphi} e também termos que acoplam ângulos (2r\cos\theta\,\dot{\theta}\dot{\varphi}).
  • Na prova: memorize a forma da velocidade (Passo 6) e as derivadas das bases (Passo 5); com isso a aceleração sai por aplicação direta da regra do produto.
  • Sugestão prática: ao montar \mathbf{a} faça primeiro o rascunho escrevendo todos os termos resultantes da diferenciação e só depois agrupe por \mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi — assim evita erros de sinais.

Resposta

\mathbf{v}=\dot{r}\,\mathbf{e}_r + r\,\dot{\theta}\,\mathbf{e}_\theta + r\sin\theta\,\dot{\varphi}\,\mathbf{e}_\varphi
\mathbf{a}= \big(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2-r\sin^2\theta\,\dot{\varphi}^2\big)\mathbf{e}_r +\big(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}-r\sin\theta\cos\theta\,\dot{\varphi}^2\big)\mathbf{e}_\theta +\big(r\sin\theta\,\ddot{\varphi}+2\dot{r}\sin\theta\,\dot{\varphi}+2r\cos\theta\,\dot{\theta}\dot{\varphi}\big)\mathbf{e}_\varphi

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