Um objeto gira com aceleração angular alpha=4 t^3-6 t, onde t está em segundos e alpha em radianos por segundo ao quadrado. No instante t=3 s, a velocidade angular é 2 rad / s e a posição angular é theta=4 rad. Determine a velocidade angular e a posição angular para t=8 s.

Passo 1

Esse exercício é sobre movimento rotacional e envolve conceitos de aceleração angular, velocidade angular e posição angular. Para resolver, vamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para achar a posição. Vamos usar as condições iniciais fornecidas no problema.

Passo 2

A aceleração angular é dada por:
alpha(t) = 4t^3 - 6t
Para encontrar a velocidade angular omega(t), precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo t:
omega(t) = integral alpha(t) , dt = integral (4t^3 - 6t) , dt

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
omega(t) = integral 4t^3 , dt - integral 6t , dt = 4 cdot t^44 - 6 cdot t^22 + C omega(t) = t^4 - 3t^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para encontrar C, usamos a condição inicial fornecida: em t = 3 s, omega = 2 rad/s.
2 = (3)^4 - 3(3)^2 + C 2 = 81 - 27 + C 2 = 54 + C C = 2 - 54 C = -52
Então, a expressão da velocidade angular fica:
omega(t) = t^4 - 3t^2 - 52

Passo 5

Agora, para achar a posição angular theta(t), integramos a velocidade angular:
theta(t) = integral omega(t) , dt = integral (t^4 - 3t^2 - 52) , dt

Passo 6

Integrando cada termo:
theta(t) = t^55 - 3 cdot t^33 - 52t + D theta(t) = t^55 - t^3 - 52t + D
Onde D é outra constante de integração.

Passo 7

Usamos a outra condição inicial: em t = 3 s, theta = 4 rad.
4 = 3^55 - 3^3 - 52 cdot 3 + D 4 = 2435 - 27 - 156 + D 4 = 48.6 - 27 - 156 + D 4 = -134.4 + D D = 4 + 134.4 D = 138.4
Portanto, a expressão da posição angular é:
theta(t) = t^55 - t^3 - 52t + 138.4

Resposta

Para t = 8 s:
  • Velocidade angular:
    omega(8) = 8^4 - 3 cdot 8^2 - 52 = 4096 - 192 - 52 = 3852 , rad/s
  • Posição angular:
    theta(8) = 8^55 - 8^3 - 52 cdot 8 + 138.4 = 327685 - 512 - 416 + 138.4 = 6553.6 - 512 - 416 + 138.4 = 5764 , rad
Resposta Final: Em t = 8 segundos, a velocidade angular é 3852 , rad/s e a posição angular é 5764 , rad.

Exercícios relacionados