Considere uma esfera maciça de raio 20 cm e massa de 3,0 kg, rolando sobre um plano inclinado de 20^circ. Calcule a aceleração do centro de massa da esfera.

Passo 1

Beleza, o problema fala de uma esfera com raio de 20 cm e massa de 3,0 kg que está rolando num plano inclinado de 20 graus. Vamos usar conceitos de movimento rotacional e translação para descobrir qual é a aceleração do centro de massa dessa esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na esfera. No plano inclinado, a força da gravidade se decompõe em duas partes:
  • Paralela ao plano: essa é a força que faz a esfera escorregar para baixo.
  • Perpendicular ao plano: essa força é equilibrada pela reação do plano inclinado.
Como a esfera está rolando sem deslizar, a força de atrito também entra na jogada, pois ela impede que a esfera escorregue e permite que ela role. Além disso, precisamos considerar o torque gerado por essa força de atrito, que está relacionado à rotação da esfera.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a aceleração do centro de massa (a) depende da inclinação do plano e do momento de inércia (I) da esfera. O momento de inércia para uma esfera maciça é dado por:
I = 25 m r^2
onde $ m $ é a massa e $ r $ é o raio da esfera.
Para encontrar a aceleração, usamos a seguinte relação que une as forças e o movimento rotacional:
m
Substituindo o momento de inércia na equação:
r

Resposta

A aceleração do centro de massa da esfera é aproximadamente $ 2,39 , \mathrm{m/s^2} $.

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