Considere uma esfera maciça de raio 20 cm e massa de
, rolando sobre um plano inclinado de
. Calcule a aceleração do centro de massa da esfera.
Passo 1
Beleza, o problema fala de uma esfera com raio de 20 cm e massa de 3,0 kg que está rolando num plano inclinado de 20 graus. Vamos usar conceitos de movimento rotacional e translação para descobrir qual é a aceleração do centro de massa dessa esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças que atuam na esfera. No plano inclinado, a força da gravidade se decompõe em duas partes:
- Paralela ao plano: essa é a força que faz a esfera escorregar para baixo.
- Perpendicular ao plano: essa força é equilibrada pela reação do plano inclinado.
Como a esfera está rolando sem deslizar, a força de atrito também entra na jogada, pois ela impede que a esfera escorregue e permite que ela role. Além disso, precisamos considerar o torque gerado por essa força de atrito, que está relacionado à rotação da esfera.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a aceleração do centro de massa (a) depende da inclinação do plano e do momento de inércia (I) da esfera. O momento de inércia para uma esfera maciça é dado por:
onde $ m $ é a massa e $ r $ é o raio da esfera.
Para encontrar a aceleração, usamos a seguinte relação que une as forças e o movimento rotacional:
Substituindo o momento de inércia na equação:
Resposta
A aceleração do centro de massa da esfera é aproximadamente $ 2,39 , \mathrm{m/s^2} $.