Considere uma esfera maciça e uniforme de massa
e raio r. Calcule o módulo da força gravitacional F exercida por essa esfera sobre uma partícula de massa m localizada a uma distância d do centro da esfera nas seguintes situações:
Quando
Quando
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz assim: temos uma esfera uniforme de massa
e raio
, e uma partícula de massa
que está a uma distância
do centro da esfera, com
. A questão é calcular a força gravitacional
que a esfera faz nessa partícula.
Conteúdo: gravitação universal e o Teorema da Casca Esférica (shell theorem).
O que a gente vai precisar:
Conteúdo: gravitação universal e o Teorema da Casca Esférica (shell theorem).
O que a gente vai precisar:
- A Lei da Gravitação Universal de Newton:
. - Entender que, para fora de uma esfera uniforme, ela se comporta como se toda a massa estivesse concentrada no centro (graças ao shell theorem).
Passo 2
Primeiro, lembra da Lei da Gravitação Universal de Newton. Se você tem duas massas
e
separadas por uma distância
, a força é
onde
é a constante gravitacional. Aqui, a “distância” é de centro a centro.
Passo 3
Agora entra o tal do Teorema da Casca Esférica. Ele diz:
- Uma casca esférica de massa uniforme não puxa nenhuma massa que esteja dentro dela.
- Para quem está fora da casca, ela puxa como se toda a massa dela estivesse concentrada no seu centro.
Então, para uma esfera maciça (várias cascas empilhadas), do ponto de vista de quem está fora (
), é como se eu pegasse toda a massa
e colocasse num pontinho no centro.
Passo 4
Como estamos no caso
, a partícula “vê” a esfera inteira como um ponto de massa
no centro. Logo, aplicamos diretamente a lei de Newton:
Isso é tudo: a distância entre os centros é
, as massas são
e
.