Considere uma esfera maciça e uniforme de massa M e raio r. Calcule o módulo da força gravitacional F exercida por essa esfera sobre uma partícula de massa m localizada a uma distância d do centro da esfera nas seguintes situações:
Quando d>r

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz assim: temos uma esfera uniforme de massa e raio , e uma partícula de massa que está a uma distância do centro da esfera, com . A questão é calcular a força gravitacional que a esfera faz nessa partícula.
Conteúdo: gravitação universal e o Teorema da Casca Esférica (shell theorem).
O que a gente vai precisar:
  • A Lei da Gravitação Universal de Newton: .
  • Entender que, para fora de uma esfera uniforme, ela se comporta como se toda a massa estivesse concentrada no centro (graças ao shell theorem).

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei da Gravitação Universal de Newton. Se você tem duas massas F = G,m1,m2D^2, e separadas por uma distância , a força é
onde é a constante gravitacional. Aqui, a “distância” é de centro a centro.

Passo 3

Agora entra o tal do Teorema da Casca Esférica. Ele diz:
  1. Uma casca esférica de massa uniforme não puxa nenhuma massa que esteja dentro dela.
  2. Para quem está fora da casca, ela puxa como se toda a massa dela estivesse concentrada no seu centro.
Então, para uma esfera maciça (várias cascas empilhadas), do ponto de vista de quem está fora ( ), é como se eu pegasse toda a massa e colocasse num pontinho no centro.

Passo 4

Como estamos no caso F = G,M,md^2 , a partícula “vê” a esfera inteira como um ponto de massa no centro. Logo, aplicamos diretamente a lei de Newton:
Isso é tudo: a distância entre os centros é , as massas são e .

Resposta

boxedF = G,M,md^2, para d>r

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