Sobre uma mesa sem atrito, uma bola de massa
é presa por duas molas alinhadas, de constante de mola
e comprimento natural
, fixadas nas extremidades da mesa. Então, a bola é deslocada a uma distância
na direção perpendicular à linha inicial das molas, como mostra a figura, sendo solta a seguir. Mostre que a aceleração da bola, usando a aproximação
pode ser dada por
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é física de forças elásticas e geometria. A gente tem uma bolinha de massa
presa em duas molas idênticas (constante
, comprimento natural
), sobre mesa sem atrito. A bolinha é deslocada “pra cima” uma distância
(perpendicular à linha inicial das molas) e solta. Queremos achar a aceleração
dessa bolinha usando a aproximação binomial
O que vai rolar:
- calcular o novo comprimento de cada mola;
- achar a extensão e a força de cada mola;
- somar as componentes das forças na direção de
; - usar a segunda lei de Newton
.
Passo 2
Primeiro, desenrola a geometria: quando a bolinha sobe
, cada mola fica com comprimento
A extensão de cada mola é
Passo 3
Agora aplica a aproximação binomial em
Com
, vem
Logo
Passo 4
Cada mola exerce uma força de módulo
Passo 5
Queremos só a componente dessa força na direção vertical (eixo do deslocamento). O ângulo
entre a mola e a horizontal satisfaz
(usando
em primeiro aproximação).
Então a componente vertical de cada força é
Então a componente vertical de cada força é
Como são duas molas simétricas, a força total restauradora é
Passo 6
Aplica
: