Sobre uma mesa sem atrito, uma bola de massa M é presa por duas molas alinhadas, de constante de mola k e comprimento natural l0, fixadas nas extremidades da mesa. Então, a bola é deslocada a uma distância x na direção perpendicular à linha inicial das molas, como mostra a figura, sendo solta a seguir. Mostre que a aceleração da bola, usando a aproximação (1+a)^alpha approx 1+alpha a pode ser dada por
a=-k x^3M l0^2

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é física de forças elásticas e geometria. A gente tem uma bolinha de massa (1 + a)^alpha approx 1 + alpha,a presa em duas molas idênticas (constante , comprimento natural ), sobre mesa sem atrito. A bolinha é deslocada “pra cima” uma distância (perpendicular à linha inicial das molas) e solta. Queremos achar a aceleração dessa bolinha usando a aproximação binomial
O que vai rolar:
  • calcular o novo comprimento de cada mola;
  • achar a extensão e a força de cada mola;
  • somar as componentes das forças na direção de ;
  • usar a segunda lei de Newton .

Passo 2

Primeiro, desenrola a geometria: quando a bolinha sobe L = raiz,l0^2 + x^2, , cada mola fica com comprimento
De
A extensão de cada mola é

Passo 3

Agora aplica a aproximação binomial em
L = l0raiz1 + l(tfracxl0r)^2 = l0,(1 + u)^1/2, u = l(tfracxl0r)^2
Com L approx l0l(1 + tfrac12,tfracx^2l0^2r) = l0 + tfracx^22,l0 , vem
De
Logo

Passo 4

Cada mola exerce uma força de módulo
T = k,De

Passo 5

Queremos só a componente dessa força na direção vertical (eixo do deslocamento). O ângulo sintheta = xLapprox xl0 entre a mola e a horizontal satisfaz
Tsintheta approx l(kx^22l0r)l(xl0r) = k,x^32,l0^2
(usando F = -2,Tsintheta approx -2;k,x^32,l0^2 = -k,x^3l0^2 em primeiro aproximação).
Então a componente vertical de cada força é
Como são duas molas simétricas, a força total restauradora é

Passo 6

Aplica M,a = -k,x^3l0^2 Longrightarrow a = -k,x^3M,l0^2 :

Resposta

boxed,a = -k,x^3M,l0^2,

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