Considere uma esfera de massa
e raio
descendo uma rampa de ângulo
com a horizontal. A força atrito estática entre a esfera e a superfície gera um torque que produz a condição de rolamento. Se a esfera parte do repouso, de uma altura
, após a esfera ter descido uma distância
, determine:
A velocidade do centro de massa da esfera.
A velocidade do centro de massa da esfera.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma esfera de massa $ m $ e raio $ r $ que está descendo uma rampa inclinada com um ângulo $ \theta $. A esfera está rolando sem deslizar graças à força de atrito estático que cria um torque. Ela começa do repouso em uma altura $ h $ e, depois de descer uma distância $ d $, queremos descobrir qual é a velocidade do centro de massa dessa esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de energia mecânica, roeção e força de atrito estático. Vamos analisar as energias envolvidas e como a esfera se movimenta na rampa para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na energia inicial da esfera. Como ela está parada no início, a energia cinética (energia de movimento) é zero. Mas ela tem energia potencial gravitacional porque está a uma certa altura $ h $. A energia potencial é dada por:
onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Quando a esfera começa a descer a rampa, ela perde energia potencial porque está diminuindo de altura. Essa energia perdida se transforma em energia cinética de translação (movimento do centro de massa) e energia cinética de rotação (devido ao rolamento).
Passo 4
A energia cinética total $ K $ da esfera é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
onde:
- $ v $ é a velocidade do centro de massa,
- $ I $ é o momento de inércia da esfera,
- $ \omega $ é a velocidade angular.
Para uma esfera sólida, o momento de inércia é:
Passo 5
Como a esfera está rolando sem deslizar, existe uma relação entre a velocidade linear $ v $ e a velocidade angular $ \omega $:
Isso significa que a rotação está diretamente ligada ao movimento para frente da esfera.
Passo 6
Vamos substituir $ \omega $ na expressão da energia cinética total:
Então, a energia cinética total fica:
Passo 7
Aplicando o princípio da conservação da energia, a energia potencial perdida pela esfera é igual à energia cinética adquirida:
Podemos simplificar essa equação cancelando $ m $ dos dois lados:
Passo 8
Agora, isolamos $ v^2 $:
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v $:
Resposta
A velocidade do centro de massa da esfera após descer a distância $ d $ é: