Considere uma esfera de massa e raio descendo uma rampa de ângulo com a horizontal. A força atrito estática entre a esfera e a superfície gera um torque que produz a condição de rolamento. Se a esfera parte do repouso, de uma altura , após a esfera ter descido uma distância , determine:
Se uma esfera oca e uma maciça, ambas com a mesma massa total, são largadas no plano inclinada juntas, qual chega primeiro a base? Justifique.
Passo 1
Beleza, o problema fala de duas esferas (uma oca, outra maciça) com mesma massa e raio que rolam sem deslizar por um plano inclinado de ângulo , partindo do repouso. A gente quer saber qual chega primeiro lá embaixo. O assunto aqui é dinâmica de rolamento (forças, torque e momento de inércia). Para resolver, vamos precisar:
As equações de Newton para translação e rotação com atrito estático (que não faz a esfera deslizar).
A condição de rolamento sem deslizamento, .
Os momentos de inércia das esferas maciça e oca (, ).
Passo 2
Primeiro, montamos as equações:
– Na direção do plano, a força que puxa é pra baixo e o atrito estático para cima. Pela segunda lei:
– Para a rotação em torno do centro, o torque do atrito é tau = f,r, que gera tau = I,alpha. Então: f,r ;=; I,alpha, tag2
– Como não há deslizamento, a aceleração linear a e a angular alpha se relacionam por
a = alpha,r, tag3
Passo 3
A gente junta (1), (2) e (3). Da (2) e (3):
f ;=; I,alphar ;=; Ir,ar ;=; Ir^2,a,
Substituindo em (1):
$$mg\sin\theta - \frac{I}{r^2},a = m,a