Considere uma esfera de massa m e raio r descendo uma rampa de ângulo theta com a horizontal. A força atrito estática entre a esfera e a superfície gera um torque que produz a condição de rolamento. Se a esfera parte do repouso, de uma altura h, após a esfera ter descido uma distância d, determine:
Se uma esfera oca e uma maciça, ambas com a mesma massa total, são largadas no plano inclinada juntas, qual chega primeiro a base? Justifique.

Passo 1

Beleza, o problema fala de duas esferas (uma oca, outra maciça) com mesma massa m e raio r que rolam sem deslizar por um plano inclinado de ângulo theta, partindo do repouso. A gente quer saber qual chega primeiro lá embaixo. O assunto aqui é dinâmica de rolamento (forças, torque e momento de inércia). Para resolver, vamos precisar:
  1. As equações de Newton para translação e rotação com atrito estático (que não faz a esfera deslizar).
  2. A condição de rolamento sem deslizamento, a = alpha,r.
  3. Os momentos de inércia das esferas maciça e oca ( Irm mac= tfrac25mr^2, Irm oc= tfrac23mr^2).

Passo 2

Primeiro, montamos as equações:
– Na direção do plano, a força que puxa é mgsintheta pra baixo e o atrito estático f para cima. Pela segunda lei:
mgsintheta - f ;=; m,a, tag1
– Para a rotação em torno do centro, o torque do atrito é tau = f,r, que gera tau = I,alpha. Então:
f,r ;=; I,alpha, tag2
– Como não há deslizamento, a aceleração linear a e a angular alpha se relacionam por
a = alpha,r, tag3

Passo 3

A gente junta (1), (2) e (3). Da (2) e (3):
f ;=; I,alphar ;=; Ir,ar ;=; Ir^2,a,
Substituindo em (1):
$$mg\sin\theta - \frac{I}{r^2},a = m,a
\quad\longrightarrow\quad
mg\sin\theta = m,a + \frac{I}{r^2},a
= a\Big(m + \frac{I}{r^2}\Big),. mgsintheta - Ir^2,a = m,a longrightarrow mgsintheta = m,a + Ir^2,a = a(m + Ir^2), a = \frac{g\sin\theta}{1 + \tfrac{I}{m,r^2}},. \tag{4}$$

Passo 4

Agora é só colocar I de cada esfera:
  • Esfera maciça: Irm mac = tfrac25m,r^2 arm mac = gsintheta1 + tfrac2/5,m,r^2m,r^2 = gsintheta1 + tfrac25 = gsinthetatfrac75 = 57,gsintheta,
  • Esfera oca: Irm oc = tfrac23m,r^2 arm oc = gsintheta1 + tfrac2/3,m,r^2m,r^2 = gsintheta1 + tfrac23 = gsinthetatfrac53 = 35,gsintheta,
Como tfrac57approx0,71 > tfrac35=0,6, a esfera maciça tem aceleração maior e, portanto, chega primeiro.

Resposta

A esfera maciça chega antes, pois seu momento de inércia é menor e isso gera maior aceleração de rolamento.

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