Considere uma esfera de massa m e raio r descendo uma rampa de ângulo theta com a horizontal. A força atrito estática entre a esfera e a superfície gera um torque que produz a condição de rolamento. Se a esfera parte do repouso, de uma altura h, após a esfera ter descido uma distância d, determine:
O trabalho realizado pela força de atrito.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma esfera de massa e raio descendo rolando (sem deslizar) por uma rampa inclinada em ângulo . A questão pede o trabalho da força de atrito estático depois de a esfera ter descido uma distância ao longo da rampa.
Conteúdo: dinâmica de rolamento, energia e trabalho, torque da força de atrito e momento de inércia de uma esfera.
O que vamos precisar:
  • Equação de Newton para a translação na rampa
  • Equação de torque para a rotação
  • Condição de rolamento sem deslizamento ( )
  • Momento de inércia da esfera
  • Definição de trabalho

Passo 2

Desenho mental: a força peso m,a ;=; mgsintheta ;-; f tem componente tau = I,alpha Longrightarrow f,r = 25mr^2,alpha ao longo da rampa para baixo, e a força de atrito estático aponta para cima (evita que a esfera deslize).
  1. Para a translação ao longo da rampa:
  1. Para a rotação em torno do centro, o torque da força de atrito é . Pela 2ª lei de Newton para rotação:
  1. Como não há deslizamento, vale .

Passo 3

Vamos achar f,r = tfrac25mr^2,(a/r) Longrightarrow f = 25m,a :
De m,a = mgsintheta - 25m,a ;;Longrightarrow;; a + 25a = gsintheta ;;Longrightarrow;; 75a = gsintheta ;;Longrightarrow;; a = 57,gsintheta e f = 25m,a = 25m;57gsintheta = 27,m gsintheta , vem
Substituindo em :
Então

Passo 4

O trabalho da força de atrito, que age para cima enquanto a esfera se desloca para baixo Wrm atrito = Frm atrito;d;cos(180^circ) = -,f,d = -,27,m gsintheta;d , é

Resposta

boxed,Wrm atrito = -,27,m,g,sintheta;d,

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