Considere uma esfera de massa m e raio r descendo uma rampa de ângulo theta com a horizontal. A força atrito estática entre a esfera e a superfície gera um torque que produz a condição de rolamento. Se a esfera parte do repouso, de uma altura h, após a esfera ter descido uma distância d, determine:
A aceleração de uma esfera maciça.

Passo 1

O enunciado diz que uma esfera sólida (massa , raio ) rola sem deslizar numa rampa inclinada de ângulo . Ela parte do repouso e anda uma certa distância, mas o que importa aqui é achar a aceleração constante com que ela desce.
Conteúdo: dinâmica de corpo em translação e rotação, rolamento sem deslizamento e momento de inércia de uma esfera maciça.
O que vamos precisar:
  1. Equação de Newton para translação ( ).
  2. Equação de Newton para rotação ( ).
  3. Relação de rolamento sem deslizamento ( ).
  4. Momento de inércia de uma esfera sólida ( ).

Passo 2

Desenhando as forças que atuam na esfera:
  • Peso m,a = m g sintheta - f tag1 dividido em duas componentes: paralela ( ) e perpendicular ( ).
  • Força de atrito estático apontando rampa acima (impede deslize).
  • Normal , mas ela não gera aceleração ao longo da rampa.
Para a translação ao longo da rampa usamos

Passo 3

Para a rotação em torno do centro, só o atrito gera torque. Como o braço é sum tau = f,r = I,alpha tag2 ,
alpha = ar tag3
E, por rolamento sem deslizamento, a aceleração linear e a angular se relacionam assim:

Passo 4

Substituindo f,r = l(tfrac25m r^2r),ar Longrightarrow f = 25,m,a tag4 da esfera maciça e em (2):

Passo 5

Volta na equação de translação (1) e troca m,a = m g sintheta - 25m,a Longrightarrow m,a + 25m,a = m g sintheta por l(1 + tfrac25r)m,a = m g sintheta Longrightarrow 75,m,a = m g sintheta :
Fatorando :

Passo 6

Simplificando a = 57,g,sintheta dos dois lados e isolando :

Resposta

A aceleração da esfera maciça rolando sem deslizamento é
boxeda = 57,g,sintheta

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