Considere uma esfera de massa e raio descendo uma rampa de ângulo com a horizontal. A força atrito estática entre a esfera e a superfície gera um torque que produz a condição de rolamento. Se a esfera parte do repouso, de uma altura , após a esfera ter descido uma distância , determine:
A aceleração de uma esfera maciça.
Passo 1
O enunciado diz que uma esfera sólida (massa , raio ) rola sem deslizar numa rampa inclinada de ângulo . Ela parte do repouso e anda uma certa distância, mas o que importa aqui é achar a aceleração constante com que ela desce.
Conteúdo: dinâmica de corpo em translação e rotação, rolamento sem deslizamento e momento de inércia de uma esfera maciça.
O que vamos precisar:
Equação de Newton para translação ().
Equação de Newton para rotação ().
Relação de rolamento sem deslizamento ().
Momento de inércia de uma esfera sólida ().
Passo 2
Desenhando as forças que atuam na esfera:
Peso dividido em duas componentes: paralela () e perpendicular ().
Força de atrito estático apontando rampa acima (impede deslize).
Normal , mas ela não gera aceleração ao longo da rampa.
Para a translação ao longo da rampa usamos
Passo 3
Para a rotação em torno do centro, só o atrito gera torque. Como o braço é sum tau = f,r = I,alpha tag2 ,
alpha = ar tag3
E, por rolamento sem deslizamento, a aceleração linear e a angular se relacionam assim:
Passo 4
Substituindo f,r = l(tfrac25m r^2r),ar Longrightarrow f = 25,m,a tag4 da esfera maciça e em (2):
Passo 5
Volta na equação de translação (1) e troca m,a = m g sintheta - 25m,a Longrightarrow m,a + 25m,a = m g sintheta por l(1 + tfrac25r)m,a = m g sintheta Longrightarrow 75,m,a = m g sintheta :
Fatorando :
Passo 6
Simplificando a = 57,g,sintheta dos dois lados e isolando :
Resposta
A aceleração da esfera maciça rolando sem deslizamento é