Considere uma partícula de massa m cujo vetor posição é dado por r=x i+y j+z k e o vetor velocidade é v=vx i+vy j+vz k. Pede-se:
Mostre que se a partícula se desloca apenas no plano xy, o vetor momento angular terá componente apenas na direção z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa m, cuja posição é dada por r = x i + y j + z k e velocidade v = vx i + vy j + vz k. O que queremos mostrar é que se a partícula se move só no plano xy, ou seja, sem se deslocar na direção z, o vetor momento angular dela terá componente apenas na direção z. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento angular e como calcular o produto vetorial entre posição e momento linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor momento angular. Ele é dado por:
L = r times p
onde p = m v é o momento linear da partícula.

Passo 3

Como a partícula se move apenas no plano xy, isso significa que suas coordenadas z e vz são iguais a zero:
z = 0 e vz = 0
Então, o vetor posição e o vetor velocidade ficam:
r = x i + y j v = vx i + vy j

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor momento linear p:
p = m v = m vx i + m vy j

Passo 5

Com r e p definidos, vamos calcular o produto vetorial r times p:
L = r times p
Usando a regra do determinante para o produto vetorial:
L = i & j & k x & y & 0 m vx & m vy & 0

Passo 6

Calculando o determinante:
  • Componente i:
(y cdot 0 - 0 cdot m vy) = 0
  • Componente j:
-(x cdot 0 - 0 cdot m vx) = 0
  • Componente k:
(x cdot m vy - y cdot m vx) = m (x vy - y vx)
Então:
L = 0 i + 0 j + m (x vy - y vx) k

Resposta

Portanto, o vetor momento angular L da partícula que se move apenas no plano xy tem componente somente na direção z, sendo dado por:
L = m (x vy - y vx) k

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