Considere uma partícula de massa cujo vetor posição é dado por e o vetor velocidade é . Pede-se:
Mostre que se a partícula se desloca apenas no plano , o vetor momento angular terá componente apenas na direção .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa , cuja posição é dada por e velocidade . O que queremos mostrar é que se a partícula se move só no plano , ou seja, sem se deslocar na direção , o vetor momento angular dela terá componente apenas na direção . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é momento angular e como calcular o produto vetorial entre posição e momento linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o vetor momento angular. Ele é dado por:
onde é o momento linear da partícula.
Passo 3
Como a partícula se move apenas no plano , isso significa que suas coordenadas e são iguais a zero:
Então, o vetor posição e o vetor velocidade ficam:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor momento linear :
Passo 5
Com e definidos, vamos calcular o produto vetorial :
Usando a regra do determinante para o produto vetorial:
Passo 6
Calculando o determinante:
Componente i:
(y cdot 0 - 0 cdot m vy) = 0
Componente j:
-(x cdot 0 - 0 cdot m vx) = 0
Componente k:
(x cdot m vy - y cdot m vx) = m (x vy - y vx)
Então:
L = 0 i + 0 j + m (x vy - y vx) k
Resposta
Portanto, o vetor momento angular L da partícula que se move apenas no plano xy tem componente somente na direção z, sendo dado por: