Considere uma esfera metálica de raio R e carga elétrica Q inicialmente isolada. Um conjunto próximo contendo duas outras esferas metálicas neutras de raios R1 e R2 é formado e uma quantidade de carga elétrica +Q deve ser distribuída ao longo desse conjunto. Diante do exposto, a esfera inicial isolada de raio R deve ser colocada em contato com a esfera de raio R2 e depois com a esfera de raio R1. Encontre a quantidade de carga elétrica final da esfera de raio R. Despreze quaisquer efeitos de indução elétrica.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos três esferas metálicas: uma inicial com raio e carga , e duas outras neutras com raios e . A gente vai distribuir uma carga total de nesse conjunto colocando a esfera inicial em contato primeiro com a de raio e depois com a de raio . O objetivo é descobrir qual vai ser a carga final na esfera de raio . Vamos usar os conceitos de conservação de carga e potencial igual entre esferas em contato.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o contato entre a esfera de raio V = q4pivarepsilon0 R (com carga qRR = qR2R2 ) e a de raio qR + qR2 = Q (inicialmente neutra). Quando duas esferas metálicas entram em contato, a carga se distribui de forma que os potenciais das duas esferas fiquem iguais.
A fórmula do potencial de uma esfera é:
Como queremos igualar os potenciais:
Além disso, a carga total é conservada:

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. qR2 = R2R qR
  2. qR + R2R qR = Q
Da primeira equação:
qR (1 + R2R) = Q
Substituindo na segunda:
qR = Q1 + R2R = QRR + R2
qR = QRR + R2
Então, a carga na esfera de raio após o primeiro contato é:

Passo 4

Agora, vamos considerar o segundo contato: a esfera de raio qR'R = qR1R1 (com carga qR' + qR1 = QRR + R2 + 0 = QRR + R2 ) entra em contato com a esfera de raio (inicialmente neutra).
Aplicamos o mesmo princípio de igualdade de potenciais:
E a conservação de carga:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. qR1 = R1R qR'
  2. qR' + R1R qR' = QRR + R2
Da primeira equação:
qR' (1 + R1R) = QRR + R2
Substituindo na segunda:
qR' = QR(R + R2)(1 + R1R) = QRR + R2 + R1 + R1 R2R
qR' = QRR + R1 + R2
Simplificando:

Resposta

A carga elétrica final da esfera de raio qR' = QRR + R1 + R2 é:

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