Considere uma esfera metálica de raio R e carga elétrica Q inicialmente isolada. Um conjunto próximo contendo duas outras esferas metálicas neutras de raios
e
é formado e uma quantidade de carga elétrica +Q deve ser distribuída ao longo desse conjunto. Diante do exposto, a esfera inicial isolada de raio R deve ser colocada em contato com a esfera de raio
e depois com a esfera de raio
. Encontre a quantidade de carga elétrica final da esfera de raio
. Despreze quaisquer efeitos de indução elétrica.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos três esferas metálicas: uma inicial com raio
e carga
, e duas outras neutras com raios
e
. A gente vai distribuir uma carga total de
nesse conjunto colocando a esfera inicial em contato primeiro com a de raio
e depois com a de raio
. O objetivo é descobrir qual vai ser a carga final na esfera de raio
. Vamos usar os conceitos de conservação de carga e potencial igual entre esferas em contato.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o contato entre a esfera de raio
(com carga
) e a de raio
(inicialmente neutra). Quando duas esferas metálicas entram em contato, a carga se distribui de forma que os potenciais das duas esferas fiquem iguais.
A fórmula do potencial
de uma esfera é:
Como queremos igualar os potenciais:
Além disso, a carga total é conservada:
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então, a carga na esfera de raio
após o primeiro contato é:
Passo 4
Agora, vamos considerar o segundo contato: a esfera de raio
(com carga
) entra em contato com a esfera de raio
(inicialmente neutra).
Aplicamos o mesmo princípio de igualdade de potenciais:
E a conservação de carga:
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Simplificando:
Resposta
A carga elétrica final da esfera de raio
é: