1. A velocidade de um pósitron é medida como sendo: v_{x}=(4,00 \pm 0,18) \times 10^{5} \mathrm{m} / \mathrm{s}, v_{y}=(0,34 \pm 0,12) \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}, v_{z}=(1,41 \pm 0,08) \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é o volume mínimo em que o pósitron pode ser localizado no momento em que a medição é realizada?

Passo 1

O enunciado dá as componentes da velocidade de um pósitron com suas incertezas:
\displaystyle v_x=(4,00\pm0,18)\times10^5\\ \mathrm{m/s},
\displaystyle v_y=(0,34\pm0,12)\times10^5\\ \mathrm{m/s},
\displaystyle v_z=(1,41\pm0,08)\times10^5\\ \mathrm{m/s}.
Pergunta qual o volume mínimo em que o pósitron pode estar localizado no instante da medição.
Conteúdo principal: princípio da incerteza de Heisenberg \Delta x\,\Delta p_x\ge\hbar/2 e cálculo de \Delta p_i=m\,\Delta v_i, onde m é a massa do pósitron (igual à massa do elétron, 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}).

Passo 2

Calcular as incertezas de impulso em cada direção usando \Delta p_i = m\,\Delta v_i:
\Delta v_x = 0{,}18\times10^5 = 1{,}8\times10^4\\ \mathrm{m/s}, \quad \Delta p_x = 9{,}11\times10^{-31}\cdot1{,}8\times10^4 = 1{,}64\times10^{-26}\\ \mathrm{kg\!\cdotm/s}.
\Delta v_y = 0{,}12\times10^5 = 1{,}2\times10^4\\ \mathrm{m/s}, \quad \Delta p_y = 9{,}11\times10^{-31}\cdot1{,}2\times10^4 = 1{,}09\times10^{-26}\\ \mathrm{kg\!\cdotm/s}.
\Delta v_z = 0{,}08\times10^5 = 8{,}0\times10^3\\ \mathrm{m/s}, \quad \Delta p_z = 9{,}11\times10^{-31}\cdot8{,}0\times10^3 = 7{,}29\times10^{-27}\\ \mathrm{kg\!\cdotm/s}.

Passo 3

Usar o princípio da incerteza para obter \Delta x_i:
\Delta x_i \ge \frac{\hbar}{2\,\Delta p_i},\quad \hbar=1{,}055\times10^{-34}\\ \mathrm{J\!\cdots}.
Logo,
\Delta x = \frac{1{,}055\times10^{-34}}{2\cdot1{,}64\times10^{-26}} \approx 3{,}22\times10^{-9}\\ \mathrm{m},
\Delta y = \frac{1{,}055\times10^{-34}}{2\cdot1{,}09\times10^{-26}} \approx 4{,}83\times10^{-9}\\ \mathrm{m},
\Delta z = \frac{1{,}055\times10^{-34}}{2\cdot7{,}29\times10^{-27}} \approx 7{,}24\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

O volume mínimo é da ordem de
\Delta V \approx \Delta x\,\Delta y\,\Delta z \approx (3{,}22\times10^{-9})(4{,}83\times10^{-9})(7{,}24\times10^{-9})\\ \mathrm{m^3}.
Multiplicando:
\Delta V \approx 1{,}13\times10^{-25}\\ \mathrm{m^3}.

Resposta

O volume mínimo em que o pósitron pode ser localizado é aproximadamente
\boxed{1,1\times10^{-25}\\ \mathrm{m^3}}.

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