) Sobre os conceitos de DERIVADAS, explique.
a) A derivada de uma função pode ser interpretada de diferentes formas. Explique, com suas palavras, uma de suas interpretações (física, geométrica ou outra).
b) Como a derivada ajuda a encontrar máximos e mínimos de uma função? Explique o passo a passo.
a) A derivada de uma função pode ser interpretada de diferentes formas. Explique, com suas palavras, uma de suas interpretações (física, geométrica ou outra).
b) Como a derivada ajuda a encontrar máximos e mínimos de uma função? Explique o passo a passo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre o conceito de derivada:
a) dar, com as suas palavras, uma interpretação de derivada (física, geométrica ou outra)
b) explicar, passo a passo, como usamos a derivada para encontrar máximos e mínimos de uma função
Conteúdo necessário: definição de derivada e testes de extremos (primeiro e segundo derivados).
a) dar, com as suas palavras, uma interpretação de derivada (física, geométrica ou outra)
b) explicar, passo a passo, como usamos a derivada para encontrar máximos e mínimos de uma função
Conteúdo necessário: definição de derivada e testes de extremos (primeiro e segundo derivados).
Passo 2
Aqui escolho a interpretação geométrica da derivada. Se
é diferenciável em
, a derivada
é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Em outras palavras,
diz o quão “íngreme” está a curva naquele ponto:
- Se
, a reta tangente sobe da esquerda para a direita. - Se
, a reta tangente desce. - Se
, a reta tangente é horizontal ali.
Passo 3
Para usar a derivada na busca de máximos e mínimos de
, seguimos este roteiro:
- Calcular a derivada:
- Encontrar pontos críticos, resolvendo
ou onde
não existe, mas
está definida.
3. Fazer o teste da primeira derivada: para cada ponto crítico , analisar o sinal de
para
e para
.
3. Fazer o teste da primeira derivada: para cada ponto crítico
- Se
muda de positivo para negativo em , tem um máximo local em . - Se
muda de negativo para positivo em , tem um mínimo local em . - Se não houver mudança de sinal, não há extremo ali (ponto de inflexão).
- (Opcional) Teste da segunda derivada: se
, temos mínimo local; se , temos máximo local; se , o teste é inconclusivo.
Resposta
a) A derivada de uma função em
pode ser vista geometricamente como o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em
. Ela mede a “inclinação” da curva naquele ponto.
b) Passo a passo para achar máximos e mínimos de
:
- Obter
. - Resolver
(e verificar onde não existe). - Aplicar o teste da primeira derivada: ver como o sinal de
muda ao passar pelo ponto crítico para identificar máximo ou mínimo local. - Opcionalmente, usar o teste da segunda derivada
para confirmar se é máximo ou mínimo .