2^{\circ} ) Sobre os conceitos de DERIVADAS, explique.
a) A derivada de uma função pode ser interpretada de diferentes formas. Explique, com suas palavras, uma de suas interpretações (física, geométrica ou outra).
b) Como a derivada ajuda a encontrar máximos e mínimos de uma função? Explique o passo a passo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre o conceito de derivada:
a) dar, com as suas palavras, uma interpretação de derivada (física, geométrica ou outra)
b) explicar, passo a passo, como usamos a derivada para encontrar máximos e mínimos de uma função
Conteúdo necessário: definição de derivada e testes de extremos (primeiro e segundo derivados).

Passo 2

Aqui escolho a interpretação geométrica da derivada. Se f é diferenciável em x_0, a derivada
f'(x_{0}) = \lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr). Em outras palavras, f'(x_{0}) diz o quão “íngreme” está a curva naquele ponto:
  • Se f'(x_{0})>0, a reta tangente sobe da esquerda para a direita.
  • Se f'(x_{0})<0, a reta tangente desce.
  • Se f'(x_{0})=0, a reta tangente é horizontal ali.

Passo 3

Para usar a derivada na busca de máximos e mínimos de f, seguimos este roteiro:
  1. Calcular a derivada:
f'(x).
  1. Encontrar pontos críticos, resolvendo
f'(x)=0
ou onde f' não existe, mas f está definida.
3. Fazer o teste da primeira derivada: para cada ponto crítico x_c, analisar o sinal de f'(x) para x<x_c e para x>x_c.
  • Se f' muda de positivo para negativo em x_c, f tem um máximo local em x_c.
  • Se f' muda de negativo para positivo em x_c, f tem um mínimo local em x_c.
  • Se não houver mudança de sinal, não há extremo ali (ponto de inflexão).
  1. (Opcional) Teste da segunda derivada: se f''(x_c)>0, temos mínimo local; se f''(x_c)<0, temos máximo local; se f''(x_c)=0, o teste é inconclusivo.

Resposta

a) A derivada de uma função em x_{0} pode ser vista geometricamente como o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em \bigl(x_{0},f(x_{0})\bigr). Ela mede a “inclinação” da curva naquele ponto.
b) Passo a passo para achar máximos e mínimos de f:
  1. Obter f'(x).
  2. Resolver f'(x)=0 (e verificar onde f' não existe).
  3. Aplicar o teste da primeira derivada: ver como o sinal de f' muda ao passar pelo ponto crítico para identificar máximo ou mínimo local.
  4. Opcionalmente, usar o teste da segunda derivada f'' para confirmar se é máximo f''<0 ou mínimo f''>0.

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