Considere uma esfera de raio R com densidade uniforme de carga \rho(\rho>0) e carga total Q(Q>0). Calcule o potencial eletrostático em um ponto P situado a uma distância z do centro da esfera quando
z>R. Por simplicidade, use o infinito como ponto de referência.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo pegado do enunciado):
  • Uma esfera de raio R com densidade volumétrica de carga uniforme \rho (com \rho>0).
  • A carga total da esfera é Q (com Q>0). Note que Q e \rho estão relacionados por Q=\rho\cdot \dfrac{4}{3}\pi R^{3}.
  • Um ponto P situado a uma distância z do centro da esfera, com z>R.
  • Pede-se: calcular o potencial eletrostático em P tomando o potencial no infinito como referência (ou seja, V(\infty)=0).

Passo 2

O que é potencial eletrostático e como ele se relaciona com o campo elétrico (aula rápida e essencial).
  • O potencial eletrostático V(\mathbf{r}) é uma função escalar tal que o campo elétrico \mathbf{E}(\mathbf{r}) é dado por
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla V(\mathbf{r}).
  • Em simetria radial (quando V depende só da distância radial r ao centro), essa relação reduz-se a uma derivada radial simples:
E_r(r) = -\frac{dV}{dr},
onde E_r(r) é o componente radial do campo (positivo para campo apontando para fora).
  • Para obter V a partir de E com referência V(\infty)=0 usamos
V(r) - V(\infty) = -\int_{\infty}^{r} E_r(r')\,dr'.
Como V(\infty)=0, isto vira
V(r) = -\int_{\infty}^{r} E_r(r')\,dr'.
Explicação intuitiva: o potencial em r é a energia por unidade de carga necessária para trazer uma carga de +\infty até r contra o campo elétrico.

Passo 3

Simetria do problema e consequência prática.
  • A esfera tem densidade uniforme e é geométrica e eletricamente simétrica: qualquer rotação em torno do centro não muda a distribuição de carga. Por isso o campo elétrico fora da esfera só depende de r (a distância ao centro) e aponta radialmente (para fora se Q>0).
  • Assim podemos escrever E_r(r) para r>R e usar uma superfície gaussiana esférica de raio r centrada na esfera.

Passo 4

Uso da Lei de Gauss para obter o campo elétrico fora da esfera (passo a passo).
  • A Lei de Gauss na forma integral diz que
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga dentro da superfície fechada \mathcal{S}.
  • Escolha \mathcal{S} como a superfície esférica de raio r (com r>R). Pelo argumento de simetria, \mathbf{E} é radial e tem módulo constante sobre essa superfície, então
\oint_{\mathcal{S}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E_r(r)\cdot 4\pi r^{2}.
  • A carga dentro dessa superfície é toda a carga da esfera (porque r>R), logo Q_{\text{int}}=Q. Aplicando Gauss:
E_r(r)\cdot 4\pi r^{2} = \frac{Q}{\varepsilon_0}.
  • Isolando E_r(r):
E_r(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r^{2}},\qquad\text{para } r>R.
Comentário didático: esse resultado mostra que, externamente, a esfera se comporta eletrostaticamente como se toda a carga Q estivesse concentrada no centro — é a versão eletrostática do “teorema da casca esférica”.

Passo 5

Integração do campo para obter o potencial em P (cálculo explícito).
  • Usamos a relação do Passo 2 com r=z. Como E_r(r) = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{r^{2}} para r>R, temos
V(z) = -\int_{\infty}^{z} E_r(r')\,dr' = -\int_{\infty}^{z} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{r'^{2}}\,dr'.
  • Factorizando constantes:
V(z) = -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\infty}^{z} \frac{1}{r'^{2}}\,dr'.
  • Calcule a integral elementar. Uma primitiva de r'^{-2} é -r'^{-1}. Assim
\int_{\infty}^{z} \frac{1}{r'^{2}}\,dr' = \Big[-\frac{1}{r'}\Big]_{\infty}^{z} = \left(-\frac{1}{z}\right) - \left(-\lim_{R'\to\infty}\frac{1}{R'}\right) = -\frac{1}{z} - 0 = -\frac{1}{z}.
  • Substituindo esse resultado:
V(z) = -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(-\frac{1}{z}\right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{z}.
  • Portanto, para z>R o potencial em P é exatamente o mesmo que o potencial de uma carga pontual Q colocada no centro da esfera, avaliado a distância z.

Passo 6

Observações finais, interpretação e alternativa com \rho.
  • Interpretação física simples: fora da esfera o potencial cai como 1/r e é positivo para Q>0.
  • Se quiser expressá-lo em função de \rho e R em vez de Q, use Q=\rho\cdot \dfrac{4}{3}\pi R^{3} e substitua na fórmula acima, obtendo
V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\rho\cdot \tfrac{4}{3}\pi R^{3}}{z}=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_0}\,\frac{1}{z}.
  • Dica para prova: é muito comum usar Gauss aqui — reconheça a simetria esférica e aplique Gauss para obter E e depois integre para V. Se o enunciado dispor de Q, prefira expressar o resultado em termos de Q; se der \rho e pedir expressão em função de \rho, faça a substituição acima.

Resposta

V(z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{Q}{z}

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