Considere uma esfera de raio
com densidade uniforme de carga
e carga total
. Calcule o potencial eletrostático em um ponto
situado a uma distância
do centro da esfera quando
z>R. Por simplicidade, use o infinito como ponto de referência.
z>R. Por simplicidade, use o infinito como ponto de referência.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo pegado do enunciado):
- Uma esfera de raio
com densidade volumétrica de carga uniforme (com ). - A carga total da esfera é
(com ). Note que e estão relacionados por . - Um ponto
situado a uma distância do centro da esfera, com . - Pede-se: calcular o potencial eletrostático em
tomando o potencial no infinito como referência (ou seja, ).
Passo 2
O que é potencial eletrostático e como ele se relaciona com o campo elétrico (aula rápida e essencial).
- O potencial eletrostático
é uma função escalar tal que o campo elétrico é dado por
- Em simetria radial (quando
depende só da distância radial ao centro), essa relação reduz-se a uma derivada radial simples:
onde
é o componente radial do campo (positivo para campo apontando para fora).
- Para obter
a partir de com referência usamos
Como
, isto vira
Explicação intuitiva: o potencial em
é a energia por unidade de carga necessária para trazer uma carga de
até
contra o campo elétrico.
Passo 3
Simetria do problema e consequência prática.
- A esfera tem densidade uniforme e é geométrica e eletricamente simétrica: qualquer rotação em torno do centro não muda a distribuição de carga. Por isso o campo elétrico fora da esfera só depende de
(a distância ao centro) e aponta radialmente (para fora se ). - Assim podemos escrever
para e usar uma superfície gaussiana esférica de raio centrada na esfera.
Passo 4
Uso da Lei de Gauss para obter o campo elétrico fora da esfera (passo a passo).
- A Lei de Gauss na forma integral diz que
onde
é a carga dentro da superfície fechada
.
- Escolha
como a superfície esférica de raio (com ). Pelo argumento de simetria, é radial e tem módulo constante sobre essa superfície, então
- A carga dentro dessa superfície é toda a carga da esfera (porque
), logo . Aplicando Gauss:
- Isolando
:
Comentário didático: esse resultado mostra que, externamente, a esfera se comporta eletrostaticamente como se toda a carga
estivesse concentrada no centro — é a versão eletrostática do “teorema da casca esférica”.
Passo 5
Integração do campo para obter o potencial em
(cálculo explícito).
- Usamos a relação do Passo 2 com
. Como para , temos
- Factorizando constantes:
- Calcule a integral elementar. Uma primitiva de
é . Assim
- Substituindo esse resultado:
- Portanto, para
o potencial em é exatamente o mesmo que o potencial de uma carga pontual colocada no centro da esfera, avaliado a distância .
Passo 6
Observações finais, interpretação e alternativa com
.
- Interpretação física simples: fora da esfera o potencial cai como
e é positivo para . - Se quiser expressá-lo em função de
e em vez de , use e substitua na fórmula acima, obtendo
- Dica para prova: é muito comum usar Gauss aqui — reconheça a simetria esférica e aplique Gauss para obter
e depois integre para . Se o enunciado dispor de , prefira expressar o resultado em termos de ; se der e pedir expressão em função de , faça a substituição acima.