Questão 23. Um feixe de luz é composto por três comprimentos de onda: 4121 Å, 4972 Å e 6216 Å, com uma intensidade total de 3,6 \times 10^{-3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}, distribuída igualmente entre os três comprimentos de onda. O feixe incide normalmente sobre uma área de 1,0 \mathrm{~cm}^{2} de uma superfície metálica limpa, cuja função trabalho é 2,3 \mathrm{eV}. Admita que não há perda de luz por reflexão e que cada fóton com energia suficiente ejeta exatamente um elétron.
O número aproximado de fotoelétrons ejetados da superfície em um intervalo de 1 s é:
A ( ) 9,2 \times 10^{11}.
B ( ) 7,5 \times 10^{11}.
C ( ) 5,5 \times 10^{11}.
D( ) 3,0 \times 10^{11}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o número aproximado de fotoelétrons ejetados da superfície em um intervalo de 1\\ \mathrm{s}.
Informações dadas (pegar tudo do enunciado):
  • Comprimentos de onda do feixe: \lambda_1=4121\\ \text{\AA}, \lambda_2=4972\\ \text{\AA}, \lambda_3=6216\\ \text{\AA}.
  • Intensidade total do feixe (por unidade de área): I_{\rm total}=3,6\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • A intensidade está distribuída igualmente entre os três comprimentos de onda (ou seja, cada componente tem 1/3 da intensidade total).
  • Área da superfície iluminada: A=1,0\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Função trabalho do metal: \varphi=2,3\\ \mathrm{eV}.
  • Recomendações/assunções: incidência normal, sem perda por reflexão, e cada fóton com energia suficiente ejeta exatamente um elétron (eficiência quântica igual a 1).
  • Tempo considerado: 1\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Converter comprimentos de onda para metros (1 \text{\AA}=10^{-10}\\ \mathrm{m}):
\lambda_1 = 4121\\ \text{\AA} = 4,121\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
\lambda_2 = 4972\\ \text{\AA} = 4,972\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
\lambda_3 = 6216\\ \text{\AA} = 6,216\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Determinar a energia de um fóton de cada comprimento de onda. Fórmula básica: a energia de um fóton é
E=\frac{h c}{\lambda},
onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz. Usarei os valores práticos
h = 6,626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s},\qquad c = 3,00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Também preciso da conversão entre joule e elétron-volt:
1\\ \mathrm{eV} = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Calcular E em joules e em eV para cada \lambda.
Para \lambda_1:
E_1 = \frac{6,626\times10^{-34}\cdot 3,00\times10^{8}}{4,121\times10^{-7}} = \frac{1,986\times10^{-25}}{4,121\times10^{-7}} \approx 4,82\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para eV:
E_1 \approx \frac{4,82\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 3,01\\ \mathrm{eV}.
Para \lambda_2:
E_2 = \frac{1,986\times10^{-25}}{4,972\times10^{-7}} \approx 3,99\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
E_2 \approx \frac{3,99\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 2,49\\ \mathrm{eV}.
Para \lambda_3:
E_3 = \frac{1,986\times10^{-25}}{6,216\times10^{-7}} \approx 3,19\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
E_3 \approx \frac{3,19\times10^{-19}}{1,602\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 2,00\\ \mathrm{eV}.
Comparação com a função trabalho \varphi=2,3\\ \mathrm{eV}:
  • E_1\approx3,01\\ \mathrm{eV}>\varphi → fótons de \lambda_1 podem ejetar elétrons.
  • E_2\approx2,49\\ \mathrm{eV}>\varphi → fótons de \lambda_2 também podem ejetar elétrons.
  • E_3\approx2,00\\ \mathrm{eV}<\varphi → fótons de \lambda_3 NÃO têm energia suficiente e não ejetam elétrons.
Portanto só \lambda_1 e \lambda_2 contribuem para a fotoemissão.

Passo 4

Determinar a potência incidente na área dada por cada componente espectral.
Cada componente tem \tfrac{1}{3} da intensidade total:
I_{\text{cada}}=\frac{I_{\rm total}}{3}=\frac{3,6\times10^{-3}}{3}=1,2\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Área iluminada:
A=1,0\\ \mathrm{cm^{2}}=1,0\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Potência incidente sobre a área por cada comprimento de onda:
P_{\text{cada}} = I_{\text{cada}}\cdot A = 1,2\times10^{-3}\cdot 1,0\times10^{-4} = 1,2\times10^{-7}\\ \mathrm{W}.
Observação física: potência em watts é energia por segundo; portanto P_{\text{cada}} dividido pela energia por fóton dá o número de fótons por segundo daquele comprimento de onda que atingem a área.

Passo 5

Calcular o número de fótons por segundo (e, por hipótese do enunciado, o número de elétrons ejetados) para \lambda_1 e \lambda_2.
Fórmula:
N_i = \frac{P_{\text{cada}}}{E_i}\quad(\text{fótons por segundo}),ó
com E_i em joules.
Para \lambda_1:
N_1 = \frac{1,2\times10^{-7}}{4,82\times10^{-19}} \approx 2,49\times10^{11}\\ \text{s}^{-1}.
Para \lambda_2:
N_2 = \frac{1,2\times10^{-7}}{3,99\times10^{-19}} \approx 3,00\times10^{11}\\ \text{s}^{-1}.
\lambda_3 não contribui (energia insuficiente), então N_3=0.
Número total de fotoelétrons ejetados por segundo (soma dos contribuintes):
N_{\rm total} = N_1 + N_2 \approx 2,49\times10^{11} + 3,00\times10^{11} \approx 5,49\times10^{11}.
Arredondando para dois algarismos significativos fica aproximadamente 5,5\times10^{11} fotoelétrons em 1\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Interpretação final e escolha da alternativa: o valor calculado coincide com a alternativa C.

Resposta

C 5,5\times10^{11}

Exercícios relacionados