Questão 24. Uma estrela, esfericamente simétrica, de raio R, cujo módulo da gravidade na superfície vale \mathbf{g}, emite radiação eletromagnética, isotropicamente, a partir de sua superficie. Considere uma linha espectral cuja frequência natural de emissão, isto é, medida por um observador local em repouso na superfície da estrela, é f_{0}. Sabe-se que o fóton interage gravitacionalmente com a estrela, uma vez que o fóton tem uma massa inercial efetiva relativística. Um observador extremamente distante da estrela move-se radialmente afastando-se dela com velocidade constante \mathbf{v}. Assinale o item correto correspondente à expressão da frequência medida por esse observador. Constantes universais, h : constante de Planck e c : velocidade da luz.
A estrela é esfericamente simétrica e tem raio \,R\,.
O módulo da gravidade na superfície vale \,g\,.
Uma linha espectral tem frequência natural, medida por um observador local em repouso na superfície, \,f_{0}.
O fóton “sente” o campo gravitacional ao sair da superfície (ou seja, há redshift gravitacional).
Um observador muito distante se afasta radialmente da estrela com velocidade constante \,v\, (velocidade medida em relação ao referencial “infinito” onde a estrela está praticamente em repouso).
O que o enunciado pede:
A expressão da frequência medida por esse observador distante em movimento radial de afastamento, em função de \,f_{0},\,g,\,R,\,v,\,c\,.
Passo 2
Entender o efeito gravitacional (redshift gravitacional) — conceito e fórmula aproximada:
Conceito curto e intuitivo: quando o fóton sobe num potencial gravitacional ele perde energia; como para luz a energia é proporcional à frequência (E=h f), a frequência observada em uma região de potencial mais fraco (aqui: no infinito) será menor que a frequência emitida na superfície.
Fórmula relativística exata (Schwarzschild) para a razão entre frequências de um observador estacionário em r_{1} e outro em r_{2} é
Tomando r_{1}=R (superfície) e r_{2}\to\infty (observador muito distante, onde o fator do numerador no denominador vai para 1), obtém-se a frequência no infinito (para um observador estacionário lá):
f_{\infty}=f_{0}\sqrt{1-\dfrac{2GM}{c^{2}R}}.
Agora usamos a relação entre G, M e a gravidade de superfície g. Sabemos que, na mecânica newtoniana, g=\dfrac{GM}{R^{2}}, logo GM=gR^{2}.
Substituindo em \dfrac{2GM}{c^{2}R} obtemos \dfrac{2GM}{c^{2}R}= \dfrac{2gR}{c^{2}}. Assim a relação exata fica
f_{\infty}=f_{0}\sqrt{1-\dfrac{2gR}{c^{2}}}.
Em regimes astrophísicos fracos (quando \dfrac{gR}{c^{2}}\ll 1) é comum usar a aproximação ao primeiro ordem da raiz:
\sqrt{1-2x}\approx 1 - x \quad\text{para } x\ll 1.
Tomando x=\dfrac{gR}{c^{2}} obtemos, em primeira ordem,
Comentário prático: as alternativas oferecidas no enunciado usam fatores do tipo 1\pm \dfrac{gR}{c^{2}} (não a raiz com 2), então a aproximação de primeira ordem é a que nos permite comparar diretamente com as alternativas.
Passo 3
Entender o efeito do movimento do observador (Doppler relativístico) — conceito e fórmula:
Conceito curto e intuitivo: além do redshift gravitacional, o observador em movimento relativo ao feixe vê uma mudança adicional de frequência por efeito Doppler. Se ele se afasta, haverá mais redshift (a frequência diminui); se se aproxima, haverá blueshift.
Para luz e movimento unidimensional (radial, ao longo da linha de emissão), a fórmula relativística exata para um observador que se afasta com velocidade \,v\, (colinear com o raio) é
Interpretação das variáveis: \,v>0\, significa afastamento; \,c\, é a velocidade da luz. A razão \sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}} é menor que 1 para \,v>0, representando redshift por afastamento.
Obs.: essa fórmula já incorpora efeitos relativísticos (dilatação do tempo e transformação de fase); é a forma correta para fonte em repouso e observador em movimento radial.
Passo 4
Combinar os dois efeitos (gravitacional + Doppler do observador):
A sequência temporal física: o fóton é emitido na superfície com frequência \,f_{0}; ao subir para o infinito a frequência sofre o fator gravitacional e chega ao referencial “infinito” com aproximadamente \,f_{\infty}\approx f_{0}\left(1-\dfrac{gR}{c^{2}}\right).
Em seguida o observador distante, que está se afastando com velocidade \,v, mede essa radiação com a fórmula Doppler aplicada à frequência que existe no referencial do infinito. Como os efeitos multiplicam (frequência final = frequência intermediária × fator Doppler), temos:
Esse resultado está em primeira ordem no parâmetro pequeno \dfrac{gR}{c^{2}} e é o produto do redshift gravitacional aproximado com o fator Doppler relativístico devido ao afastamento.
Passo 5
Comparação com as alternativas e conclusão:
A alternativa que coincide com a expressão encontrada é a alternativa \mathbf{D}: