Questão 24. Uma estrela, esfericamente simétrica, de raio R, cujo módulo da gravidade na superfície vale \mathbf{g}, emite radiação eletromagnética, isotropicamente, a partir de sua superficie. Considere uma linha espectral cuja frequência natural de emissão, isto é, medida por um observador local em repouso na superfície da estrela, é f_{0}. Sabe-se que o fóton interage gravitacionalmente com a estrela, uma vez que o fóton tem uma massa inercial efetiva relativística. Um observador extremamente distante da estrela move-se radialmente afastando-se dela com velocidade constante \mathbf{v}. Assinale o item correto correspondente à expressão da frequência medida por esse observador. Constantes universais, h : constante de Planck e c : velocidade da luz.
\begin{array}{ll} \mathbf{A}(,) f_{0} \sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}} & \mathbf{B}(,) f_{0}\left(1+\frac{g R}{c^{2}}\right) \sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}} \\\ \mathbf{C}(,) f_{0}\left(\frac{g R}{c^{2}}\right) \sqrt{\frac{1+\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}} & \mathbf{D}(,) f_{0}\left(1-\frac{g R}{c^{2}}\right) \sqrt{\frac{1-\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}} \\\ \mathbf{E}(,) f_{0}\left(1-\frac{g R}{c^{2}}\right) \sqrt{\frac{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}{1+\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}} & \end{array}

Passo 1

O que o enunciado dá (pego do enunciado):
  • A estrela é esfericamente simétrica e tem raio \,R\,.
  • O módulo da gravidade na superfície vale \,g\,.
  • Uma linha espectral tem frequência natural, medida por um observador local em repouso na superfície, \,f_{0}.
  • O fóton “sente” o campo gravitacional ao sair da superfície (ou seja, há redshift gravitacional).
  • Um observador muito distante se afasta radialmente da estrela com velocidade constante \,v\, (velocidade medida em relação ao referencial “infinito” onde a estrela está praticamente em repouso).
    O que o enunciado pede:
  • A expressão da frequência medida por esse observador distante em movimento radial de afastamento, em função de \,f_{0},\,g,\,R,\,v,\,c\,.

Passo 2

Entender o efeito gravitacional (redshift gravitacional) — conceito e fórmula aproximada:
  • Conceito curto e intuitivo: quando o fóton sobe num potencial gravitacional ele perde energia; como para luz a energia é proporcional à frequência ( E=h f), a frequência observada em uma região de potencial mais fraco (aqui: no infinito) será menor que a frequência emitida na superfície.
  • Fórmula relativística exata (Schwarzschild) para a razão entre frequências de um observador estacionário em r_{1} e outro em r_{2} é
\frac{f(r_{2})}{f(r_{1})}=\sqrt{\frac{1-\dfrac{2GM}{c^{2}r_{1}}}{1-\dfrac{2GM}{c^{2}r_{2}}}}.
  • Tomando r_{1}=R (superfície) e r_{2}\to\infty (observador muito distante, onde o fator do numerador no denominador vai para 1), obtém-se a frequência no infinito (para um observador estacionário lá):
f_{\infty}=f_{0}\sqrt{1-\dfrac{2GM}{c^{2}R}}.
  • Agora usamos a relação entre G, M e a gravidade de superfície g. Sabemos que, na mecânica newtoniana, g=\dfrac{GM}{R^{2}}, logo GM=gR^{2}.
  • Substituindo em \dfrac{2GM}{c^{2}R} obtemos \dfrac{2GM}{c^{2}R}= \dfrac{2gR}{c^{2}}. Assim a relação exata fica
f_{\infty}=f_{0}\sqrt{1-\dfrac{2gR}{c^{2}}}.
  • Em regimes astrophísicos fracos (quando \dfrac{gR}{c^{2}}\ll 1) é comum usar a aproximação ao primeiro ordem da raiz:
\sqrt{1-2x}\approx 1 - x \quad\text{para } x\ll 1.
Tomando x=\dfrac{gR}{c^{2}} obtemos, em primeira ordem,
f_{\infty}\approx f_{0}\left(1-\dfrac{gR}{c^{2}}\right).
  • Comentário prático: as alternativas oferecidas no enunciado usam fatores do tipo 1\pm \dfrac{gR}{c^{2}} (não a raiz com 2), então a aproximação de primeira ordem é a que nos permite comparar diretamente com as alternativas.

Passo 3

Entender o efeito do movimento do observador (Doppler relativístico) — conceito e fórmula:
  • Conceito curto e intuitivo: além do redshift gravitacional, o observador em movimento relativo ao feixe vê uma mudança adicional de frequência por efeito Doppler. Se ele se afasta, haverá mais redshift (a frequência diminui); se se aproxima, haverá blueshift.
  • Para luz e movimento unidimensional (radial, ao longo da linha de emissão), a fórmula relativística exata para um observador que se afasta com velocidade \,v\, (colinear com o raio) é
f_{\text{obs}}=f_{\text{referencial}}\sqrt{\frac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}.
  • Interpretação das variáveis: \,v>0\, significa afastamento; \,c\, é a velocidade da luz. A razão \sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}} é menor que 1 para \,v>0, representando redshift por afastamento.
  • Obs.: essa fórmula já incorpora efeitos relativísticos (dilatação do tempo e transformação de fase); é a forma correta para fonte em repouso e observador em movimento radial.

Passo 4

Combinar os dois efeitos (gravitacional + Doppler do observador):
  • A sequência temporal física: o fóton é emitido na superfície com frequência \,f_{0}; ao subir para o infinito a frequência sofre o fator gravitacional e chega ao referencial “infinito” com aproximadamente \,f_{\infty}\approx f_{0}\left(1-\dfrac{gR}{c^{2}}\right).
  • Em seguida o observador distante, que está se afastando com velocidade \,v, mede essa radiação com a fórmula Doppler aplicada à frequência que existe no referencial do infinito. Como os efeitos multiplicam (frequência final = frequência intermediária × fator Doppler), temos:
f_{\text{medida}} \approx f_{\infty}\sqrt{\frac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}} = f_{0}\left(1-\dfrac{gR}{c^{2}}\right)\sqrt{\frac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}.
  • Esse resultado está em primeira ordem no parâmetro pequeno \dfrac{gR}{c^{2}} e é o produto do redshift gravitacional aproximado com o fator Doppler relativístico devido ao afastamento.

Passo 5

Comparação com as alternativas e conclusão:
  • A alternativa que coincide com a expressão encontrada é a alternativa \mathbf{D}:
f_{0}\left(1-\dfrac{gR}{c^{2}}\right)\sqrt{\frac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}.
  • Observações rápidas sobre por que as outras não servem:
    • \mathbf{A} tem só Doppler, ignora o redshift gravitacional.
    • \mathbf{B} tem sinais trocados e fator Doppler invertido (parece para aproximação).
    • \mathbf{C} e \mathbf{E} apresentam formas não compatíveis com as fórmulas corretas (C mistura coisas, E usa uma razão quadrática estranha).
  • Portanto a escolha correta é \mathbf{D}.

Resposta

\mathbf{D},\; f_{0}\left(1-\dfrac{g R}{c^{2}}\right)\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{v}{c}}{1+\dfrac{v}{c}}}

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