Considere uma esfera de raio unitário centrada na origem do espaço cartesiano e o ponto
. Qual é o ponto da esfera mais próximo do ponto
e qual o mais distante? Observação: após encontrar os pontos, não basta apontar qual o mais próximo e o mais distante, tem que justificar.
Passo 1
Temos uma esfera de raio unitário centrada em O(0,0,0) e um ponto P(2,2,4). O objetivo é achar, na superfície da esfera, os pontos que minimizam e maximizam a distância até P. O conteúdo aqui é otimização de uma função com restrição, e vamos usar a distância ao quadrado e propriedades do produto escalar para resolver.
Passo 2
Seja x um ponto genérico da esfera, com $|x| = 1$. A distância ao quadrado de x a P é dada por:
Como |x|^2 = 1 e |P|^2 é constante, minimizar |x - P|^2 equivale a maximizar $x\cdot P$, e maximizar |x - P|^2 equivale a minimizar $x\cdot P$.
Passo 3
Pelo teorema de Cauchy–Schwarz, o produto escalar $x\cdot P$ atinge o máximo quando x é paralelo a P, e o mínimo quando x é antiparalelo a P. Assim, temos:
Passo 4
Calculando o módulo de P:
Logo os pontos são:
Resposta
O ponto da esfera mais próximo de P é (1/√6, 1/√6, 2/√6) e o mais distante é (−1/√6, −1/√6, −2/√6).