Considere uma esfera de raio unitário centrada na origem do espaço cartesiano e o ponto P(2,2,4). Qual é o ponto da esfera mais próximo do ponto P e qual o mais distante? Observação: após encontrar os pontos, não basta apontar qual o mais próximo e o mais distante, tem que justificar.

Passo 1

Temos uma esfera de raio unitário centrada em O(0,0,0) e um ponto P(2,2,4). O objetivo é achar, na superfície da esfera, os pontos que minimizam e maximizam a distância até P. O conteúdo aqui é otimização de uma função com restrição, e vamos usar a distância ao quadrado e propriedades do produto escalar para resolver.

Passo 2

Seja x um ponto genérico da esfera, com $|x| = 1$. A distância ao quadrado de x a P é dada por:
|x| = 1
Como |x|^2 = 1 e |P|^2 é constante, minimizar |x - P|^2 equivale a maximizar $x\cdot P$, e maximizar |x - P|^2 equivale a minimizar $x\cdot P$.

Passo 3

Pelo teorema de Cauchy–Schwarz, o produto escalar $x\cdot P$ atinge o máximo quando x é paralelo a P, e o mínimo quando x é antiparalelo a P. Assim, temos:
xcdot Pó

Passo 4

Calculando o módulo de P:
|P| = raiz2^2 + 2^2 + 4^2 = raiz24 = 2raiz6
Logo os pontos são:
xmais próximo = l(tfrac1raiz6,tfrac1raiz6,tfrac2raiz6r), xmais distante = l(-tfrac1raiz6,-tfrac1raiz6,-tfrac2raiz6r) ó

Resposta

O ponto da esfera mais próximo de P é (1/√6, 1/√6, 2/√6) e o mais distante é (−1/√6, −1/√6, −2/√6).

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