Sejam a, b inteiros positivos tais que \operatorname{mdc}(a, b)=p, p primo. Quais os possíveis valores para \operatorname{mdc}\left(a^{2}, b\right) ?

Passo 1

O enunciado dá que a e b são inteiros positivos e que \operatorname{mdc}(a,b)=p, com p primo. A pergunta é: quais são os possíveis valores de \operatorname{mdc}\bigl(a^{2},b\bigr)?
Informações relevantes: p é primo; a,b\in\mathbb{Z}_{>0}; \operatorname{mdc}(a,b)=p.

Passo 2

Vamos introduzir uma forma prática de controlar as potências de p em a e b. Defina \nu_{p}(n) como o expoente de p na fatoração de n (ou seja, a maior potência p^{\nu_{p}(n)} que divide n). Por exemplo, se n=p^{3}\cdot m com p\nmid m, então \nu_{p}(n)=3.
Propriedade importante (explicação): para quaisquer inteiros positivos x,y vale \nu_{p}\bigl(\operatorname{mdc}(x,y)\bigr)=\min\bigl(\nu_{p}(x),\nu_{p}(y)\bigr). Isso acontece porque a máxima potência de p que divide o máximo divisor comum é precisamente a menor potência de p que divide cada um dos números.

Passo 3

Aplique isso a a e b. Escreva \nu_{p}(a)=\alpha e \nu_{p}(b)=\beta. Como \operatorname{mdc}(a,b)=p, a menor potência de p comum a a e b é exatamente p^{1}, logo
\min(\alpha,\beta)=1.
Também temos \alpha\ge1 e \beta\ge1. Agora calcule \nu_{p}\bigl(a^{2}\bigr)=2\alpha. Portanto
\nu_{p}\bigl(\operatorname{mdc}(a^{2},b)\bigr)=\min\bigl(2\alpha,\beta\bigr).
Isso implica
\operatorname{mdc}(a^{2},b)=p^{\min(2\alpha,\beta)}.

Passo 4

Usamos a condição \min(\alpha,\beta)=1. Isso significa que pelo menos um entre \alpha e \beta é igual a 1. Vamos estudar as possibilidades separadamente, porque são poucas.

Passo 5

Caso 1: \alpha=1 (ou seja, a tem exatamente um p na fatoração). Então
\min(2\alpha,\beta)=\min(2,\beta).
Se \beta=1 obtemos \min(2,1)=1. Se \beta\ge2 obtemos \min(2,\beta)=2. Assim, neste caso \operatorname{mdc}(a^{2},b) vale p ou p^{2}.

Passo 6

Caso 2: \beta=1 (ou seja, b tem exatamente um p na fatoração). Então
\min(2\alpha,\beta)=\min(2\alpha,1)=1,
portanto \operatorname{mdc}(a^{2},b)=p. Note que este caso já está coberto pelo estudo anterior (é o subcaso \beta=1 do caso \alpha qualquer).

Passo 7

Mostramos que não há outras possibilidades: como \min(\alpha,\beta)=1, não é possível ter \alpha\ge2 e \beta\ge2 ao mesmo tempo. Logo \min(2\alpha,\beta) só pode ser 1 ou 2. Portanto os únicos valores possíveis para \operatorname{mdc}(a^{2},b) são p e p^{2}.

Passo 8

Para ficar mais concreto, exemplos que realizam os dois casos:
  • Para \operatorname{mdc}(a^{2},b)=p: tome a=p e b=p. Então \operatorname{mdc}(a,b)=p e \operatorname{mdc}(a^{2},b)=\operatorname{mdc}(p^{2},p)=p.
  • Para \operatorname{mdc}(a^{2},b)=p^{2}: tome a=p e b=p^{2}. Aqui \operatorname{mdc}(a,b)=p e \operatorname{mdc}(a^{2},b)=\operatorname{mdc}(p^{2},p^{2})=p^{2}.

Resposta

p
p^{2}

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