Sejam
inteiros positivos tais que
primo. Quais os possíveis valores para
?
Passo 1
O enunciado dá que
e
são inteiros positivos e que
, com
primo. A pergunta é: quais são os possíveis valores de
?
Informações relevantes: é primo;
;
.
Informações relevantes:
Passo 2
Vamos introduzir uma forma prática de controlar as potências de
em
e
. Defina
como o expoente de
na fatoração de
(ou seja, a maior potência
que divide
). Por exemplo, se
com
, então
.
Propriedade importante (explicação): para quaisquer inteiros positivos vale
. Isso acontece porque a máxima potência de
que divide o máximo divisor comum é precisamente a menor potência de
que divide cada um dos números.
Propriedade importante (explicação): para quaisquer inteiros positivos
Passo 3
Aplique isso a
e
. Escreva
e
. Como
, a menor potência de
comum a
e
é exatamente
, logo
Também temos
e
. Agora calcule
. Portanto
Isso implica
Passo 4
Usamos a condição
. Isso significa que pelo menos um entre
e
é igual a
. Vamos estudar as possibilidades separadamente, porque são poucas.
Passo 5
Caso 1:
(ou seja,
tem exatamente um
na fatoração). Então
Se
obtemos
. Se
obtemos
. Assim, neste caso
vale
ou
.
Passo 6
Caso 2:
(ou seja,
tem exatamente um
na fatoração). Então
portanto
. Note que este caso já está coberto pelo estudo anterior (é o subcaso
do caso
qualquer).
Passo 7
Mostramos que não há outras possibilidades: como
, não é possível ter
e
ao mesmo tempo. Logo
só pode ser
ou
. Portanto os únicos valores possíveis para
são
e
.
Passo 8
Para ficar mais concreto, exemplos que realizam os dois casos:
- Para
: tome e . Então e . - Para
: tome e . Aqui e .