Considere o espaço euclideano \mathbb{R}^{3}. Verifique que
\beta=\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c} 0 \\\\ 1 \\\\ -1 \end{array}\right], \frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 1 \\\\ 1 \end{array}\right], \frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c} 1 \\\\ -1 \\\\ -1 \end{array}\right]\right\}
é uma base ortonormal de \mathbb{R}^{3}. Use os coeficientes de fourier para determinar [w]_{\beta}, sendo w=\left[\begin{array}{c}3 \\\\ -2 \\\\ 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá o espaço euclidiano \mathbb{R}^3 e a família
\beta = \Bigl\{v_1,\,v_2,\,v_3\Bigr\}
com
v_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}, \quad v_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \quad v_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix}.
Precisamos (a) verificar que \beta é uma base ortonormal e (b) encontrar as coordenadas de
w = \begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}
na base \beta usando coeficientes de Fourier, ou seja, \langle w,v_i\rangle.

Passo 2

Verificamos primeiro a ortonormalidade de \beta:
1. Normas:
\|v_1\|^2 = \frac{1}{2}\bigl(0^2+1^2+(-1)^2\bigr) = \frac{2}{2}=1, \quad \|v_2\|^2 = \frac{1}{6}\bigl(2^2+1^2+1^2\bigr) = \frac{6}{6}=1,
\|v_3\|^2 = \frac{1}{3}\bigl(1^2+(-1)^2+(-1)^2\bigr) = \frac{3}{3}=1.
2. Ortonogonalidade ( \langle v_i,v_j\rangle=0 para i\neq j):
\langle v_1,v_2\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{6}}\bigl(0\cdot2+1\cdot1+(-1)\cdot1\bigr) =0,
\langle v_1,v_3\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}\,\sqrt{3}}\bigl(0\cdot1+1\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)\bigr) =0,
\langle v_2,v_3\rangle =\frac{1}{\sqrt{6}\,\sqrt{3}}\bigl(2\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot(-1)\bigr) =0.
Logo, \beta é ortonormal e, como são três vetores em \mathbb{R}^3, é base.

Passo 3

Em base ortonormal, os coeficientes de Fourier são
\alpha_i = \langle w,\,v_i\rangle.
Calculamos cada um:
\alpha_1 = \langle w,v_1\rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(3\cdot0 + (-2)\cdot1 + 1\cdot(-1)\bigr) = \frac{-2-1}{\sqrt{2}} = -\frac{3}{\sqrt{2}}.
\alpha_2 = \langle w,v_2\rangle
= \frac{1}{\sqrt{6}}\bigl(3\cdot2 + (-2)\cdot1 + 1\cdot1\bigr) = \frac{6 -2 +1}{\sqrt{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}}.
\alpha_3 = \langle w,v_3\rangle
= \frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(3\cdot1 + (-2)\cdot(-1) + 1\cdot(-1)\bigr) = \frac{3 +2 -1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Como \beta é base ortonormal, temos
[w]_\beta = \begin{pmatrix}\alpha_1\\alpha_2\\alpha_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{\sqrt{2}}\\[6pt] \tfrac{5}{\sqrt{6}}\\[6pt] \tfrac{4}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}.]

Resposta

[w]_{\beta} = \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{\sqrt{2}}\\\ \tfrac{5}{\sqrt{6}}\\\ \tfrac{4}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}.

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