Considere os sistemas abaixo, verifique que eles não possuem solução e determine seu erro aproximado:
\left\{\begin{array}{l}x+3 y+z=1 \\\\ -2 x-y-z=2 \\\ x+3 y+2 z=3 \\\\ 2 x-2 y-z=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema sobredeterminado de quatro equações e três incógnitas, ou seja,
\begin{cases} x + 3y + z = 1,\\\\ -2x - y - z = 2,\\\ x + 3y + 2z = 3,\\\\ 2x - 2y - z = -1. \end{cases}
Como são mais equações do que incógnitas, esperamos, em geral, que o sistema seja inconsistente (sem solução exata) e, por isso, vamos
  1. verificar que não há solução exata e
  2. encontrar a aproximação que minimiza o erro de quadrados (solução de mínimos quadrados) e calcular o erro aproximado pelo residual.

Passo 2

Para ver que não há solução exata, basta combinar as primeiras duas equações e comparar com a quarta. Por exemplo, da diferença entre a terceira e a primeira obtemos
(x+3y+2z)-(x+3y+z)=3-1 \;\Longrightarrow\;z=2.
Substituindo em x+3y+z=1\) dá \(x+3y=-1\) e em \(-2x-y-z=2\) dá \(-2x-y=4\). Dessa forma \[\begin{cases} x+3y=-1,\\\\ -2x -y=4, \end{cases}
cuja solução é y=0,4\], \(x=-2,2. Mas então na quarta equação teríamos
2x-2y-z=2(-2,2)-2(0,4)-2=-4,4-0,8-2=-7,2\neq -1,
logo há contradição e não existe solução exata.

Passo 3

Para achar a melhor aproximação em mínimos quadrados, montamos as equações normais
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\\\ -2 & -1 & -1\\\\ 1 & 3 & 2\\\\ 2 & -2 & -1 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\\\ -1\end{pmatrix},
e resolvemos
A^T A\,x = A^T b.

Passo 4

Calculamos
A^T A =\begin{pmatrix} 10 & 4 & 3\\\\ 4 & 23 & 12\\\\ 3 & 12 & 7 \end{pmatrix}, \quad A^T b =\begin{pmatrix}-2\\\ 12\\\ 6\end{pmatrix}.
Então devemos resolver o sistema
\begin{pmatrix} 10 & 4 & 3\\\\ 4 & 23 & 12\\\\ 3 & 12 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ 12\\\ 6\end{pmatrix}.

Passo 5

Resolvendo por eliminação, encontra-se
x\approx \begin{pmatrix} -0,4604\\\\ 0,4892\\\\ 0,2158 \end{pmatrix}.
O residual é r = A x - b, cujas componentes são aproximadamente
r\approx \begin{pmatrix} 0,2230\\\\ -1,7842\\\\ -1,5611\\\\ -1,1151 \end{pmatrix}.
O erro aproximado em norma Euclideana é
\|r\|_2 =\sqrt{0,2230^2 + (-1,7842)^2 + (-1,5611)^2 + (-1,1151)^2} \approx 2,63.

Resposta

O sistema é inconsistente (sem solução exata). A solução de mínimos quadrados é
(x,y,z)\approx(-0,4604,\;0,4892,\;0,2158)
e o erro aproximado (norma do residual) é aproximadamente 2,63.

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