Considere os sistemas abaixo, verifique que eles não possuem solução e determine seu erro aproximado: \left\{\begin{array}{l}x+3 y+z=1 \\\\ -2 x-y-z=2 \\\ x+3 y+2 z=3 \\\\ 2 x-2 y-z=-1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema sobredeterminado de quatro equações e três incógnitas, ou seja,
\begin{cases} x + 3y + z = 1,\\\\ -2x - y - z = 2,\\\ x + 3y + 2z = 3,\\\\ 2x - 2y - z = -1. \end{cases}
Como são mais equações do que incógnitas, esperamos, em geral, que o sistema seja inconsistente (sem solução exata) e, por isso, vamos
verificar que não há solução exata e
encontrar a aproximação que minimiza o erro de quadrados (solução de mínimos quadrados) e calcular o erro aproximado pelo residual.
Passo 2
Para ver que não há solução exata, basta combinar as primeiras duas equações e comparar com a quarta. Por exemplo, da diferença entre a terceira e a primeira obtemos
(x+3y+2z)-(x+3y+z)=3-1 \;\Longrightarrow\;z=2.
Substituindo em x+3y+z=1\) dá \(x+3y=-1\) e em \(-2x-y-z=2\) dá \(-2x-y=4\). Dessa forma
\[\begin{cases} x+3y=-1,\\\\ -2x -y=4, \end{cases}
cuja solução é y=0,4\], \(x=-2,2. Mas então na quarta equação teríamos
2x-2y-z=2(-2,2)-2(0,4)-2=-4,4-0,8-2=-7,2\neq -1,
logo há contradição e não existe solução exata.
Passo 3
Para achar a melhor aproximação em mínimos quadrados, montamos as equações normais